Součinová topologie

Nechť ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ jsou dva topologické prostory. Součinová topologie na kartézském součinu ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ je systém otevřených množin generovaný všemi množinami ${\displaystyle p_{i}^{-1}(U)}$, kde ${\displaystyle U}$ je otevřená množina v ${\displaystyle X_{i}}$ a ${\displaystyle p_{i}:X_{1}\times X_{2}\to X_{i}}$ definované ${\displaystyle p_{i}(x_{1},x_{2}):=x_{i},}$ ${\displaystyle i=1,2}$, jsou (přirozené) projekce. Podobně se definuje součinová topologie na libovolném součinů topologických prostorů (i nespočetném).

Součinová topologie na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ uvažovaných s metrickou topologie je shodná s metrickou topologií na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}}$.

1. Následující definice je definici součinové topologie ekvivalentní:

Součinová toplogie je nejhrubší topologie na ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$, že projekce ${\displaystyle p_{i}}$ jsou spojité pro ${\displaystyle i\in \{1,2\}}$.

2. Součinová toplogie splňuje univerzální vlastnost, tj. kategorie topologických prostorů je kategorií se součinem.

Součinovou topologii lze definovat pro větší počet kartézsky násobených topologických prostorů. Na takovémto součinu lze zavést více přirozených součinových topologií, které však s výše uvedenou nemusejí obecně splývat.