Charakteristická funkce (teorie pravděpodobnosti)

Nechť ${\displaystyle X}$ je náhodná proměnná a nechť ${\displaystyle F(x)}$ je její distribuční funkce. Komplexní funkce reálné proměnné ${\displaystyle \varphi _{X}(t):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$ definovaná vztahem:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=E\left[e^{itX}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF(x)\quad \left(=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx\right)}$

je charakteristická funkcí náhodné veličiny ${\displaystyle X}$.

V uvedeném vztahu písmeno ${\displaystyle i}$ označuje tzv. imaginární jednotku (${\displaystyle i^{2}=-1}$), ${\displaystyle \mathbb {R} }$ je množina reálných čísel, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ je množina komplexních čísel a ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Symbol ${\displaystyle f_{X}(x)}$ v závorce na konci vztahu označuje hustotu náhodné veličiny. Poslední rovnost ovšem platí pouze v případě, že hustota náhodné veličiny existuje (pokud neexistuje, pak samozřejmě nemůžeme charakteristickou funkci pomocí ní vyjádřit).

Díky známému vztahu

${\displaystyle e^{it}=cos(t)+isin(t)}$

můžeme charakteristickou funkci vyjádřit takto:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=E\left[e^{itX}\right]=E\left[cos(tX)\right]+iE\left[sin(tX)\right]=\int _{-\infty }^{\infty }cos(tx)dF(x)+i\int _{-\infty }^{\infty }sin(tx)\,dF(x)}$

Pokud je uvažována náhodná veličina ${\displaystyle X}$ diskrétní, pak platí:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\sum _{k}e^{itx_{k}}P\left[X=x_{k}\right]=\sum _{k}cos(tx_{k})P\left[X=x_{k}\right]+i\sum _{k}sin(tx_{k})P\left[X=x_{k}\right]}$

Charakteristická funkce má několik důležitých vlastností. Jednou z těchto vlastností je, že charakteristická funkce v bodě 0 je rovna 1, tedy matematicky zapsáno: ${\displaystyle \varphi _{X}(0)=1}$.

Platnost této rovnosti se dá ukázat následujícím postupem:

${\displaystyle \varphi _{X}(0)=E\left[e^{i.0.X}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i.0.x}dF(x)=\int _{-\infty }^{\infty }1.dF(x)=\int _{-\infty }^{\infty }dF(x)=1}$

Další vlastností je, že charakteristická funkce je ohraničena, tedy: ${\displaystyle |\varphi _{X}(t)|\leq 1}$ pro všechny ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

Pro charakteristickou funkci ze záporného argumentu zase platí následující: ${\displaystyle \varphi _{X}(-t)={\bar {\varphi _{X}(t)}}}$ pro všechny ${\displaystyle t\in R}$, kde ${\displaystyle {\bar {\varphi _{X}(t)}}}$ vyjadřuje komplexně sdružené číslo k číslu ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$

Charakteristická funkce ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$ je stejnoměrně spojitá na množině reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Charakteristická funkce ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$ je také pozitivně semidefinitní, tedy platí:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}{\bar {\lambda _{i}}}\varphi _{X}\left(t_{i}-t_{j}\right)\geq 0}$
Přičemž nerovnost platí pro libovolná komplexní čísla ${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}}$ a libovolná reálná čísla ${\displaystyle t_{1},\cdots ,t_{n}}$, pro ${\displaystyle n\geq 1}$. Symbol ${\displaystyle {\bar {\lambda _{i}}}}$ označuje komplexně sdružené číslo k číslu ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

Existuje vztah mezi charakteristickými funkcemi náhodných proměnných a distribučními funkcemi náhodných proměnných. Tedy pokud máme dvě náhodné proměnné ${\displaystyle X_{1}}$ a ${\displaystyle X_{2}}$, pak platí následující:

${\displaystyle F_{X_{1}}=F_{X_{2}}\ \Leftrightarrow \ \varphi _{X_{1}}=\varphi _{X_{2}}}$

Pokud existuje hustota ${\displaystyle f(x)}$ náhodné veličiny ${\displaystyle X}$, přičemž tato náhodná veličina má distribuční funkci ${\displaystyle F(x)}$, pak lze charakteristickou funkci této náhodné veličiny vyjádřit i v následujícím tvaru:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f(x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }cos(tx)f(x)dx+i\int _{-\infty }^{\infty }sin(tx)f(x)\,dx}$

Pro charakteristickou funkci součtu náhodných veličin, tedy pro takovou náhodnou veličinu ${\displaystyle Y}$, která je součtem ${\displaystyle n}$ nezávislých náhodných veličin: ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ platí vztah:

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\varphi _{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}(t)=\prod _{i=1}^{n}\varphi _{X_{i}}(t)}$

Pro náhodnou veličinu následujícího tvaru: ${\displaystyle Y=aX+b}$ zase platí:

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{itb}\varphi _{X}(at)}$

Pomocí charakteristické funkce se dají poměrně jednoduše vypočítat i momenty náhodných veličin (pokud tyto samozřejmě existují). Předpokládejme, že pro ${\displaystyle k=1,2,\cdots ,j}$ , ${\displaystyle j\geq 1}$ je ${\displaystyle E\left(|X|^{k}\right)<\infty }$. Pak víme, že k-té derivace, které označíme ${\displaystyle \varphi ^{k}}$ funkce ${\displaystyle \varphi }$ existují a platí pro ně následující vztah:

${\displaystyle \varphi _{X}^{k}(0)=i^{k}E\left(X^{k}\right)}$

Každá náhodná veličina má svou charakteristickou funkci, tedy jinak řečeno – charakteristická funkce náhodné veličiny existuje vždy. V tom se liší například od momentové vytvořující funkce, která není definována pro všechny náhodné veličiny.

Pokud tedy máme libovolnou náhodnou veličinu ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, pak určitě víme, že pro každé ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ platí (např. Pro funkci kosinus), že: ${\displaystyle |cos(tx)|\leq 1}$ (analogicky pro funkci sinus) . Tedy určitě víme, že funkce ${\displaystyle e^{itx}}$, ${\displaystyle cos(tx)}$ a ${\displaystyle sin(tx)}$ jsou spojité a ohraničené na množině ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Z toho tedy dostáváme následující:

${\displaystyle E\left[e^{itx}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF(x)<\infty }$

${\displaystyle E\left[cos(tx)\right]=\int _{-\infty }^{\infty }cos(tx)dF(x)<\infty }$

${\displaystyle E\left[sin(tx)\right]=\int _{-\infty }^{\infty }sin(tx)dF(x)<\infty }$

Tedy Lebesgueovy-Stieltjesovy integrály existují a jsou konečné, ohraničené.

Pro konkrétní rozdělení pravděpodobnosti má charakteristická funkce následující vyjádření:

Rozdělení pravděpodobnosti	Charakteristická funkce
Degenerované rozdělení ${\displaystyle \delta _{a}}$	${\displaystyle e^{ita}}$
Alternativní rozdělení ${\displaystyle Alt(p)}$	${\displaystyle 1-p+pe^{it}}$
Binomické rozdělení ${\displaystyle Bin(n,p)}$	${\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}}$
Negativní binomické rozdělení ${\displaystyle NBin(r,p)}$	${\displaystyle \left({\frac {1-p}{1-pe^{i\,t}}}\right)^{r}}$
Poissonovo rozdělení ${\displaystyle Poi(\lambda )}$	${\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)}}$
Rovnoměrné rozdělení ${\displaystyle R(a,b)}$	${\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}$
Laplaceovo rozdělení ${\displaystyle L(\mu ,b)}$	${\displaystyle {\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}}$
Normální rozdělení ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$
Χ² rozdělení ${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$	${\displaystyle (1-2it)^{-k/2}}$
Cauchyho rozdělení ${\displaystyle C(\mu ,\theta )}$	${\displaystyle e^{it\mu -\theta |t|}}$
Gama rozdělení ${\displaystyle \Gamma (k,\theta )}$	${\displaystyle (1-it\theta )^{-k}}$
Exponenciální rozdělení ${\displaystyle Exp(\lambda )}$	${\displaystyle (1-it\lambda ^{-1})^{-1}}$
Mnohorozměrné normální rozdělení ${\displaystyle N(\mu ,\Sigma )}$	${\displaystyle e^{it^{T}\mu -{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}}$
Mnohorozměrné Cauchyova rozdělení ${\displaystyle C(\mu ,\Sigma )}$	${\displaystyle e^{it^{T}\mu -{\sqrt {t^{T}\Sigma t}}}}$