Spojitá funkce

O funkci ${\displaystyle f(x)}$ řekneme, že je spojitá v bodě a, pokud ke každému (libovolně malému) číslu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje takové číslo ${\displaystyle \delta >0}$, že pro všechna x, pro něž platí ${\displaystyle |x-a|<\delta }$, platí také

${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$.

Velikost čísla ${\displaystyle \delta }$ může záviset nejen na volbě čísla ${\displaystyle \varepsilon }$, ale i na volbě bodu a.

Funkci ${\displaystyle f(x)}$ označujeme jako spojitou zprava (resp. zleva), pokud k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje takové ${\displaystyle \delta >0}$, že pro všechna ${\displaystyle x\in \langle a,a+\delta )}$ (resp. ${\displaystyle x\in (a-\delta ,a\rangle }$), tzn. pro všechna x z pravého okolí (resp. levého okolí) bodu ${\displaystyle a}$, je ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$. Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci n proměnných. O funkci ${\displaystyle f(x_{i})}$, kde ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě ${\displaystyle A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}$, pokud ke každému (libovolně malému) číslu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje takové číslo ${\displaystyle \delta >0}$, že pro všechny body ${\displaystyle X=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]}$ z okolí bodu A, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku ${\displaystyle d(A,X)<\delta }$, platí

${\displaystyle |f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})-f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})|<\varepsilon }$.

Nechť ${\displaystyle x_{0}}$ je hromadným bodem ${\displaystyle D(f)}$. Funkce ${\displaystyle f}$ je spojitá v bodě ${\displaystyle x_{0}}$ právě tehdy když ${\displaystyle \forall \lbrace x_{n}\rbrace ,x_{n}\in D(f),x_{n}\rightarrow x_{0}}$ platí ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow f(x_{0})}$.

O komplexní funkci ${\displaystyle f(z)}$ říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě ${\displaystyle z_{0}}$ komplexní roviny platí

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=f(z_{0})}$.

Je-li funkce ${\displaystyle f(z)}$ spojitá v každém bodě určité oblasti ${\displaystyle \mathbf {G} }$, pak říkáme, že je spojitá v ${\displaystyle \mathbf {G} }$.

Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti, singularity.

Za bod nespojitosti prvního druhu označíme takový bod ${\displaystyle a}$, ve kterém má funkce ${\displaystyle f(x)}$ limitu zprava i zleva, avšak tyto dvě limity mají rozdílné hodnoty, tzn. ${\displaystyle \lim _{x\to a+}f(x)\neq \lim _{x\to a-}f(x)}$.[2] Rozdíl mezi těmito čísly, tzn. ${\displaystyle \lim _{x\to a+}f(x)-\lim _{x\to a-}f(x)}$, nazýváme skokem funkce v bodě ${\displaystyle a}$.[1]

Za bod nespojitosti druhého druhu označíme takový bod ${\displaystyle a}$, v němž neexistuje alespoň jedna z vlastních (konečných) jednostranných limit.[2]

Pokud v bodě ${\displaystyle a}$ existuje vlastní (konečná) limita ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}$, avšak funkce ${\displaystyle f(x)}$ není v bodě a definována, nebo je ${\displaystyle f(a)\neq A}$, pak bod ${\displaystyle a}$ označujeme jako odstranitelnou nespojitost funkce ${\displaystyle f(x)}$.[1]

Funkci, která je definována na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, označíme jako po částech spojitou na daném intervalu, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

Druhy bodů nespojitosti

Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod ${\displaystyle b}$. Bod ${\displaystyle e}$ je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod ${\displaystyle c}$ je odstranitelnou nespojitostí funkce f(x). Funkce je po částech spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle a,d\rangle }$.

Mějme funkci ${\displaystyle f(x)}$ na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, pro niž k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje ${\displaystyle \delta >0}$ takové, že pro libovolné dva body ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ z intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ splňující ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$ platí ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$. Pak říkáme, že funkce ${\displaystyle f(x)}$ je stejnoměrně spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$.

Funkce dolní celá část, nespojitá v každém celém čísle

• Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
• Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla).
• Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0:

  I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn −0,001 = −1, ale sgn 0,001 = 1.

• Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle.
• Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá.

• Má-li funkce ${\displaystyle f(x)}$ v bodě ${\displaystyle a}$ konečnou derivaci, pak je v bodě a také spojitá.
• Pokud je funkce ${\displaystyle f(x)}$ spojitá v bodě ${\displaystyle a}$ a funkce ${\displaystyle g(y)}$ spojitá v bodě ${\displaystyle b=f(a)}$, pak složená funkce ${\displaystyle g(f(x))}$ je spojitá v bodě ${\displaystyle a}$.
• Je-li funkce ${\displaystyle f(x)}$ spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, pak na ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ existuje alespoň jeden bod ${\displaystyle x_{1}\in \langle a,b\rangle }$ takový, že ${\displaystyle f(x_{1})\geq f(x)}$ pro všechna ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle .}$ Jedná se o maximum funkce ${\displaystyle f(x)}$ na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle .}$ Současně také existuje alespoň jeden bod ${\displaystyle x_{2}\in \langle a,b\rangle }$ takový, že ${\displaystyle f(x_{2})\leq f(x)}$ pro všechna ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle }$. Jedná se o minimum funkce ${\displaystyle f(x)}$ na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$. Funkce spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ je tedy na tomto intervalu také ohraničená.

• Funkce
• Komplexní funkce
• Spojité zobrazení
• Okolí
• Polospojitost
• Stejnoměrně spojitá funkce
• Absolutně spojitá funkce
• Lipschitzovská funkce
• Integrita
• Singularita