Nutná a postačující podmínka

V logice mohou mezi dvěma souvisejícími tvrzeními (větami, výroky) existovat vztahy, pro které se používají zažitá označení nutná, resp. postačující podmínka.

Tvrzení $A$ je nutnou podmínkou pro jiné tvrzení $B$ , pokud $B$ nemůže platit, aniž by platilo $A$ . Jinak řečeno, $B$ platí jen tehdy, pokud platí $A$ . Věta „X je čtyřúhelník“ je nutná podmínka pro to, aby mohlo platit, že „X je čtverec“. Pokud X není čtyřúhelník, nemůže to být čtverec. (Není to však podmínka postačující, protože například lichoběžník je čtyřúhelník, ale není čtverec.) Říkáme, že $B$ implikuje $A$ a zapisujeme jako $B\Rightarrow A$ , případně $A\Leftarrow B$ .
Tvrzení $A$ je postačující podmínkou pro jiné tvrzení $B$ , pokud $B$ platí vždy, když platí $A$ . Jinak řečeno, $B$ platí tehdy, když platí $A$ . Věta „X je čtverec“ je postačující podmínka k tomu, aby platilo, že „X je čtyřúhelník“. (Není to však podmínka nutná: kosočtverec není čtverec, a přesto je čtyřúhelník.) Říkáme, že $A$ implikuje $B$ a zapisujeme jako $A\Rightarrow B$ .
Tvrzení $A$ je nutnou i postačující podmínkou pro tvrzení $B$ , pokud $B$ platí tehdy a jen tehdy (právě tehdy), když platí $A$ . Věta „X je čtverec“ platí tehdy a jen tehdy, pokud platí, že „X je rovnostranný pravoúhlý čtyřúhelník“. Obě tvrzení tedy platí vždy společně a jejich vztah lze obrátit. Říkáme, že $A$ je ekvivalentní $B$ , případně, že $A$ implikuje $B$ a $B$ implikuje $A$ a zapisujeme $A\Leftrightarrow B$ .

Příklady

Nutná podmínka

Nutnou podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné šesti je, že číslo musí být sudé. V tomto případě je podmínkou, že číslo je sudé (tzn. věta $A$ ). Číslo je dělitelné šesti představuje větu $B$ .

Avšak každé číslo dělitelné šesti je také dělitelné dvěma, tedy je sudé. Tzn. pokud je splněna věta $B$ (číslo je dělitelné šesti), je vždy splněna věta $A$ (číslo je sudé). Věta $A$ (číslo je sudé) je tedy nutnou podmínkou věty $B$ (číslo je dělitelné šesti).

Každé sudé číslo však nemusí být dělitelné číslem šesti (např. číslo 4). Pokud je tedy splněna věta $A$ (číslo je sudé), nemusí být splněna věta $B$ (číslo je dělitelné šesti). Věta $A$ tedy není postačující podmínkou věty $B$ .

Postačující podmínka

Postačující podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné šesti, může být např. podmínka, že číslo musí být dělitelné dvanácti. Číslo je dělitelné dvanácti představuje větu $A$ , a číslo je dělitelné šesti větu $B$ .

Každé číslo dělitelné dvanácti je také dělitelné šesti, tzn. pokud je splněna věta $A$ (číslo je dělitelné dvanácti), je splněna také věta $B$ (číslo je dělitelné šesti). Věta $A$ je tedy postačující podmínkou věty $B$ .

Je-li však splněna věta $B$ (číslo je dělitelné šesti), nemusí být splněna věta $A$ (číslo je dělitelné dvanácti). Takovými čísly jsou např. 6, 18 atd. Věta $A$ tedy není nutnou podmínkou věty $B$ .

Nutná a postačující podmínka

Nutnou a postačující podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné šesti, je, aby číslo bylo sudé a dělitelné třemi. Podmínkou (větou $A$ ) je zde, že číslo musí být sudé a dělitelné třemi, číslo je dělitelné šesti je věta $B$ .

Je-li číslo dělitelné dvěma i třemi, pak je také dělitelné šesti. Současně platí, že číslo dělitelné šesti je dělitelné dvěma a třemi. Pokud tedy platí věta $A$ (číslo je sudé a dělitelné třemi), musí platit také věta $B$ (číslo je dělitelné šesti).

Věta $A$ je tedy postačující podmínkou věty $B$ . Platí-li však věta $B$ (číslo je dělitelné šesti), pak platí také věta $A$ (číslo je sudé a dělitelné třemi).

Věta $A$ je tedy také nutnou podmínkou věty $B$ . Tzn. věta $A$ je nutnou a postačující podmínkou věta $B$ . Uvedenou podmínku můžeme slovně vyjádřit tak, že číslo je dělitelné šesti tehdy a pouze tehdy, je-li sudé a dělitelné třemi.

Odkazy

Související články

Literatura

Ottův slovník naučný, heslo Hypothesa. Sv. 11, str. 1057

Externí odkazy

Stanford encyclopedia of philosophy, heslo Necessary and sufficient conditions (anglicky)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.