Lebesgueov integrál

Pri konštrukcii Lebesgueova integrálu postupujeme tak, že rozdelíme obor hodnôt ohraničenej funkcie ${\displaystyle f(x)}$ na malé intervaly. Už tu je vidieť rozdiel oproti Riemannovmu integrálu, pri ktorého konštrukcii sa delí definičný obor. Na intervale ${\displaystyle \langle A,B\rangle }$ teda zvolíme body ${\displaystyle A=y_{0}<y_{1}<y_{2}<\cdots <y_{n-1}<y_{n}=B}$, ktoré určujú určité delenie tohoto intervalu, ktoré označíme d . Ako ${\displaystyle \mathbf {E} _{k}}$ označíme množinu bodov ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle }$, pre ktoré platí ${\displaystyle y_{k-1}\leq f(x)<y_{k}}$. Pre výpočet Lebesgueovho integrálu potrebujeme poznať Lebesgueovu mieru každej množiny ${\displaystyle \mathbf {E} _{k}}$, ktorú označíme ${\displaystyle \mu (\mathbf {E} _{k})}$. Horný integrálny súčet pri danom delení d potom vyjadríme vzťahom

${\displaystyle S(d)=\sum _{k=1}^{n}y_{k}\mu (\mathbf {E} _{k})}$

Dolný integrálny súčet pri rovnakom delení d bude mať tvar

${\displaystyle s(d)=\sum _{k=1}^{n}y_{k-1}\mu (\mathbf {E} _{k})}$

Pre každú ohraničenú funkciu, ktorá je na intervale ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ merateľná, je infimum množiny horných integrálnych súčtov, ktoré získame pre všetky možné delenia d intervalu ${\displaystyle \langle A,B\rangle }$, rovné supremu množiny všetkých dolných integrálnych súčtov, tzn.

${\displaystyle \inf _{d}S(d)=\sup _{d}s(d)}$

Spoločnú hodnotu infima horných a suprema dolných integrálnych súčtov nazýváme Lebesgueovým integrálom funkcie ${\displaystyle f(x)}$ a zapisujeme ${\displaystyle \int _{\mathbf {I} }f(x)\mathrm {d} x}$, kde ${\displaystyle \mathbf {I} =\langle a,b\rangle }$, prípadne ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathbf {d} x}$. Pre zdôraznenie použitia miery možno tiež písať ${\displaystyle \int _{\mathbf {I} }f\mathrm {d} \mu }$. Ak je nutné odlíšiť Lebesgueov integrál od integrálu Riemannovho, potom Lebesgueov integrál zapisujeme ako ${\displaystyle L\int _{\mathbf {I} }f(x)\mathrm {d} x}$.

Ak existuje Lebesgueov integrál funkcie ${\displaystyle f(x)}$, potom o funkcii ${\displaystyle f(x)}$ hovoríme, že je integrovateľná v Lebesgueovom zmysle. Ak je funkcia ${\displaystyle f(x)}$ integrovateľná v Riemannovom zmysle, je integrovateľná tiež v Lebesgueovom zmysle, pričom hodnoty oboch integrálov (Riemannovho a Lebesgueovho) sú si rovné. Opačné tvrdenie však neplatí, tzn. funkcia integrovateľná v Lebesgueovom zmysle nemusí byť integrovateľná v zmysle Riemannovom.

Lebesgueov integrál je všeobecnejší než integrál Riemannov, pretože integrovať možno na ľubovolnej merateľnej množine. Je možné dokázať tvrdenie, že každá ohraničená merateľná funkcia je integrovateľná v Lebesgueovom zmysle.

Lebesgueov integrál možno rozšíriť tiež na funkcie, ktoré nie sú ohraničené.

Máme funkciu ${\displaystyle f(x)}$, ktorá je merateľná na ohraničenej merateľnej množine ${\displaystyle \mathbf {I} }$, pričom táto funkcia môže byť neohraničená. Ak na ${\displaystyle \mathbf {I} }$ platí ${\displaystyle f(x)\geq 0}$, potom môžeme zvoliť ľubovoľné ${\displaystyle K>0}$ a definovať novú funkciu ${\displaystyle f_{K}(x)}$ takto

${\displaystyle f_{K}(x)=f(x){\mbox{ pre }}f(x)\leq K}$

${\displaystyle f_{K}(x)=K{\mbox{ pre }}f(x)>K}$

Funkcia ${\displaystyle f_{K}(x)}$ je merateľná, pretože tiež funkcia ${\displaystyle f(x)}$ je podľa predpokladu merateľná, a navyše je tiež ohraničená, takže je integrovateľná v Lebesgueovom zmysle. Lebesgueov integrál (neohraničenej) funkcie ${\displaystyle f(x)}$ potom môžeme definovať vzťahom

${\displaystyle \int _{\mathbf {I} }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{K\to \infty }\int _{\mathbf {I} }f_{K}(x)\mathrm {d} x}$

Ak limita na pravej strane existuje, hovoríme, že integrál konverguje. Ak je nevlastná alebo neexistuje, potom hovoríme, že integrál diverguje.

Funkciu ${\displaystyle f(x)}$ môžeme tiež rozložiť na ${\displaystyle f(x)=f_{+}(x)-f_{-}(x)}$, kde

${\displaystyle f_{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\mbox{ pre }}f(x)\geq 0\\0,&{\mbox{ pre }}f(x)<0\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle f_{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ pre }}-f(x)\geq 0\\f(x),&{\mbox{ pre }}f(x)<0\end{matrix}}\right.}$

Pomocu tohto rozkladu možno vyjadriť Lebesgueov integrál merateľnej funkcie ${\displaystyle f(x)}$.

Ilustrácia výpočtu Riemannovho (hore) a Lebesgueovho integrálu.

Máme za úlohu sčítať peniaze, ktoré sme dostali od jednotlivých ľudí. Môžeme postupovať dvomi spôsobmi.

1. Robiť kôpky peňazí, ktoré sme dostali od jednotlivých ľudí, spočítať hodnotu peňazí v jednotlivých kôpkach a nakoniec sčítať všetky kôpky peňazí. (Riemmanov prístup)
2. Robiť kôpky peňazí a mincí rovnakej hodnoty, určiť ich počet v každej kôpke a vynásobiť ho hodnotou bankovky resp. mince.Nakoniec sčítať všetky kôpky. (Lebesgueov prístup)

• Integrál
• Lebesgueova miera