Integrál

Definícia: Funkcia F sa nazýva primitívna funkcia k funkcii f na otvorenom intervale I, ak platí F' = f na intervale I.

${\displaystyle \int {f(x)}\,\mathrm {d} x=F(x)+c.}$

Hľadanie neurčitého integrálu (primitívnej funkcie) je opačný proces k určovaniu derivácie. Pri výpočte sa vychádza zo známych integrálov (tzv. tabuľkové integrály) a využíva sa lineárnosť, metóda per partes a substitučná metóda.

Integrál ako plocha pod krivkou.

Jednoducho povedané, určitý integrál nezápornej funkcie f(x) medzi nejakými dvoma bodmi a, b je rovný ploche obrazca ohraničeného priamkami x = a, x = b, osou x a krivkou definovanou funkciou f. Formálnejšie povedané, taký integrál je rovný miere množiny S definovanej ako

${\displaystyle S=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:a\leq x\leq b,0\leq y\leq f(x)\}.}$

Integrál sa označuje štylizovaným pretiahnutým písmenom ſ (tzv. dlhé s; z lat. ſumma, summa). Toto značenie zaviedol matematik Gottfried Leibniz.

Integrál opísaný v predchádzajúcom odseku by sa zapísal ako ${\displaystyle {\begin{matrix}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\end{matrix}}}$, kde znak ${\displaystyle {\begin{matrix}\int \end{matrix}}}$ označuje integrovanie, a a b sú integračné medze (len pri určitom integrále), dx označuje premennú, podľa ktorej sa integruje (pôvodne označovalo infinitezimálnu hodnotu, ale dnes slúži len ako rýdzo symbolické označenie bez ďalšieho významu).

${\displaystyle \int {0}\,\mathrm {d} x=c}$

${\displaystyle \int {x^{n}}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c;n\in \mathbb {R} -\lbrace -1\rbrace }$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln |x|+c}$

${\displaystyle \int {a^{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+c;a\in {\mathbb {R} }^{+}-\lbrace 1\rbrace }$

${\displaystyle \int {e^{x}}\,\mathrm {d} x=e^{x}+c}$

${\displaystyle \int {\sin x}\,\mathrm {d} x=-\cos x+c}$

${\displaystyle \int {\cos x}\,\mathrm {d} x=\sin x+c}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,\mathrm {d} x=-\operatorname {cotg} \,x+c}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {tg} \,x+c}$

${\displaystyle \int {1}\,\mathrm {d} x=x+c}$

Existuje veľa definícií integrálu, ktoré pre rozumne správajúce sa funkcie vedú k rovnakým výsledkom. Z nich najdôležitejšie sú Riemannov integrál a Lebesgueov integrál.

Riemannov integrál navrhol Bernhard Riemann roku 1854 a išlo o prvú definíciu integrálu zodpovedajúcu dnešným pomerom. Lebesgueov integrál vytvoril Henri Lebesgue. Lebesgueov integrál a ďalšie, ešte pokročilejšie integrály, umožňujúce integrovať širšie triedy funkcií, platia pre ne silnejšie verzie mnohých tvrdení a poskytujú mnohé výhody. Patrí sem napríklad Kurzweilov integrál.

V komplexných číslach sa spravidla používajú krivkové integrály. Ak tieto integrály prebiehajú po uzavretej krivke v komplexnej rovine, potom je spravidla možné ich spočítať pomocou reziduálnej vety, Cauchy-ovho vzorca alebo Cauchy-ovej vety.[1]