Teória miery

Teória miery je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá z najvšeobecnejších hľadísk exaktným uchopením pojmu kvantity. Základným pojmom teórie je miera, ktorá zovšeobecňuje pojmy, ako dĺžka, plocha, či objem. Teória miery je úzko spätá s teóriou integrálu (preto sa často vyskytuje aj označenie Teória miery a integrálu) a tiež s teóriou pravdepodobnosti.

Miera

Miera je základným pojmom teórie miery. Z neformálneho pohľadu je miera zovšeobecnením pojmov dĺžka, obsah, objem] alebo počet (množstvo).

Definícia

Majme merateľný priestor . Množinovú funkciu nazveme miera, ak spĺňa tieto podmienky:

  • Miera prázdnej množiny je nulová: .
  • Miera je vždy nezáporná:
  • σ-aditivita: Pre ľubovoľnú spočítateľnú postupnosť po dvoch disjunktných množinách platí

Trojicu potom nazývame priestor s mierou.

Vlastnosti miery

  • Pre postupnosť množín platí:
  • Pre postupnosť podmnožín platí:
  • Naopak pre postupnosť nadmnožín: pokiaľ potom platí:

Príklady mier

  • Diracova miera : Nech X je neprázdna množina a a jej prvok. Diracova miera je definovaná na σ-algebre P(X) všetkých podmnožín množiny X predpisom:

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.