Teória miery

Majme merateľný priestor ${\displaystyle (X,\Sigma )}$. Množinovú funkciu ${\displaystyle \mu :\Sigma \rightarrow \langle 0,\infty \rangle }$ nazveme miera, ak spĺňa tieto podmienky:

• Miera prázdnej množiny je nulová: ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$.
• Miera je vždy nezáporná: ${\displaystyle \forall A:\mu (A)\geq 0}$
• σ-aditivita: Pre ľubovoľnú spočítateľnú postupnosť po dvoch disjunktných množinách ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty },\ A_{i}\in \Sigma }$ platí ${\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).}$

Trojicu ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ potom nazývame priestor s mierou.

• ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B)}$
• Pre postupnosť množín ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$ platí: ${\displaystyle \mu (\bigcup _{1}^{\infty }A_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$
• Pre postupnosť podmnožín ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq ...}$ platí: ${\displaystyle \mu (\bigcup _{1}^{\infty }A_{i})=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})}$
• Naopak pre postupnosť nadmnožín: ${\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq ...}$ pokiaľ ${\displaystyle \mu (A_{1})<\infty }$ potom platí: ${\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})}$

• Diracova miera ${\displaystyle \delta _{a}}$: Nech X je neprázdna množina a a jej prvok. Diracova miera ${\displaystyle \delta _{a}}$ je definovaná na σ-algebre P(X) všetkých podmnožín množiny X predpisom:

${\displaystyle \delta _{a}(A)={\begin{cases}{\mbox{0 pokiaľ }}a\notin A\\{\mbox{1 pokiaľ }}a\in A\end{cases}}}$

• Aritmetická miera
• Lebesgueova miera
• Hausdorffova miera
• Lebesgue-Stieltjesove miery