Riemannov integrál

Delenie intervalu ${\displaystyle [a,b]}$ je každá konečná postupnosť ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$. Každý z intervalov ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ sa nazýva podinterval delenia. Norma delenia je definovaná ako dĺžka najdlhšieho podintervalu ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$, teda je to ${\displaystyle \max(x_{i+1}-x_{i})}$, kde ${\displaystyle 0\leq i\leq n-1}$.

Značené delenie intervalu je delenie intervalu spolu s konečnou postupnosťou čísel ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$, pre ktorú platí, že pre každé ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}}$. Inými slovami to je delenie, ktorého každý podinterval obsahuje jeden bod. Norma značeného delenia sa definuje rovnako ako norma obyčajného delenia.

Predpokladajme ďalej, že ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ spolu s ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ je značené delenie intervalu ${\displaystyle [a,b]}$ a že ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ spolu s ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ je iné značené delenie toho istého intervalu. Hovoríme, že ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ spolu s ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ je zjemnením delenia ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ spolu s ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$, ak pre každé celé číslo ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$, existuje celé číslo ${\displaystyle r(i)}$ také, že ${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}$ a také, že ${\displaystyle t_{i}=s_{j}}$ pre niektoré ${\displaystyle j}$ with ${\displaystyle r(i)\leq j\leq r(i+1)}$. Zjednodušene povedané, zjemnenie značeného delenia je značené delenia, ktoré ma viacero značiek, ale má aj všetky pôvodné.

Na množine všetkých značených delení môžeme definované čiastočné usporiadanie nasledovne: jedno značené delenie je väčšie ako iné značené delenie, keď to väčšie je zjemnením menšieho.

Zvoľme si reálnu funkciu ${\displaystyle f}$ definovanú na intervale ${\displaystyle [a,b]}$. Riemannovým súčtom funkcie ${\displaystyle f}$ vzhľadom na značené delenie ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ spolu s ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ je suma:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})}$

Každý člen sumy je súčinom hodnoty funkcie v danej značke a dĺžky intervalu. Geometricky každý člen teda zodpovedá obsahu obdĺžnika výšky ${\displaystyle f(t_{i})}$ a dĺžky ${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}}$. Riemannov súčet je znamienkový obsah pod všetkými takýmito obdĺžnikmi.

Voľne povedané, Riemannov integrál je limita Riemannových súčtov funkcie pre stále jemnejšie a jemnejšie delenia. Avšak povedať presne, čo myslíme pod "jemnejšie a jemnejšie", je trochu zložitejšie.

Jeden dôležitý fakt je, že normy delení musia stále klesať, takže ich limita je nulová. Keby to tak nebolo, nedostávali by sme dobré aproximácie na niektorých podintervaloch. Toto však stále nestačí na definovanie integrálu. Aby sme boli konkrétni, hovoríme, že Riemannov integrál funkcie ${\displaystyle f}$ sa rovná ${\displaystyle S}$, ak platí nasledujúca podmienka:

Pre každé ${\displaystyle \epsilon >0}$ existuje ${\displaystyle \delta >0}$ taká, že pre ľubovoľné značené delenie ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ a ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$, ktorého norma je ${\displaystyle \delta }$, platí

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-s\right|<\epsilon .\,}$

S touto definíciou je však veľmi nepohodlné pracovať. Vypracujeme preto alternatívnu definíciu a následne dokážeme, že je rovnaká ako táto, ktorú sme práve napísali. Naša nová definícia hovorí, že Riemannov integrál funkcie ${\displaystyle f}$ sa rovná ${\displaystyle s}$, ak platí podmienka:

Pre každé ${\displaystyle \epsilon >0}$ existuje značené delenie ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ spolu s ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ také, že pre každé jeho zjemnenie ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ a ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ platí:

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-s\right|<\epsilon .\,}$

Inak povedané, Riemannove súčty vzhľadom na postupne zjemňujúce sa intervalu konvergujú k ${\displaystyle s}$. Táto definícia je v skutočnosti špeciálnym prípadom všeobecnejšieho pojmu topologickej siete.

Ako sme už povedali, tieto dve definície sú ekvivalentné. Aby sme ukázali, že z prvej definície vyplýva druhá, zoberme nejaké ${\displaystyle \epsilon }$ a zvoľme ${\displaystyle \delta }$, ktorého existenciu zaručuje podmienka definície. Zvoľme si ľubovoľné delenie, ktorého norma je menšia ako ${\displaystyle \delta }$. Jeho Riemannov súčet sa nachádza od ${\displaystyle s}$ vo vzdialenosti menšej ako ${\displaystyle \epsilon }$ a každé jeho zjemnenie bude mať taktiež normu menšiu ako ${\displaystyle \delta }$, čiže jeho Riemannov súčet tiež vzdialený najviac ${\displaystyle \epsilon }$ od ${\displaystyle s}$. Na to, že z druhej definície vyplýva prvá, je pohodlnejšie pracovať s Darbouxovým integrálom. Najprv sa však musí ukázať, že druhá definícia je ekvivalentná s definíciou Darbouxovho integrálu; dôkaz je uvedený v článku o Darbouxovom integráli. Teraz dokážeme, že darbouxovsky integrovateľné funkcie vyhovujú prvej definícii. Zvoľme delenie ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ také, že dolné a horné Darbouxove súčty vzhľadom na toto delenie nie sú vzdialené od hodnoty ${\displaystyle s}$ Darbouxovho integrálu o viac ako ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$. Nech ${\displaystyle r}$ sa rovná ${\displaystyle \max _{0\leq i\leq n-1}M_{i}-m_{i}}$, kde ${\displaystyle M_{i}}$ a ${\displaystyle m_{i}}$ sú suprémom a infimom funkcie ${\displaystyle f}$ na ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ a nech ${\displaystyle \delta }$ je menšia ako obe hodnoty ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2rn}}}$ a ${\displaystyle \min _{0\leq i\leq n-1}x_{i+1}-x_{i}}$. Potom nie je ťažké ukázať, že Riemannov súčet funkcie ${\displaystyle f}$ vzhľadom na ľuboľné značené delenie normy menšej ako ${\displaystyle \delta }$ bude v rámci ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$ od horného alebo dolného Darbouxovho súčtu, takže celkovo bude vo vzdialenosti menšej ako ${\displaystyle \epsilon }$ od ${\displaystyle s}$.