Ohraničená množina

• Ak existuje také číslo ${\displaystyle r\in R}$ , že pre všetky čísla ${\displaystyle a\in A}$ platí ${\displaystyle a<r}$, potom množinu ${\displaystyle A}$ označujeme ako ohraničenú zhora. Číslo ${\displaystyle r}$ nazývame horným ohraničením množiny.

• Ak existuje také číslo ${\displaystyle s\in R}$, že pre všetky čísla ${\displaystyle a\in A}$ platí ${\displaystyle a>s}$, potom množinu ${\displaystyle A}$ označujeme ako ohraničenú zdola. Číslo ${\displaystyle s}$ nazývame dolným ohraničením množiny.

Množina reálnych čísel ohraničená zdola aj zhora sa nazýva ohraničená.

Najmenšie horné ohraničenie množiny ${\displaystyle A}$ sa nazýva supremum množiny ${\displaystyle A}$ a označujeme ho ${\displaystyle supA}$.

Najväčšie dolné ohraničenie množiny ${\displaystyle A}$ sa nazýva infimum množiny ${\displaystyle A}$ a označujeme ho ${\displaystyle infA}$.

Ak je ${\displaystyle (M,\rho )\,\!}$ metrický priestor, potom množinu ${\displaystyle A\subseteq M\,\!}$ nazveme ohraničenou, pokiaľ existuje ${\displaystyle x\in M\,\!}$ a reálné číslo ${\displaystyle r\in \mathbb {R} \,\!}$ také, že pre každé ${\displaystyle y\in A\,\!}$ je ${\displaystyle \rho (x,y)<r\,\!}$

Na rozdiel od pojmu uzavretá množina, ktorý nie je absolútny (tento istý metrický priestor môže byť uzavretý v jednom svojom nadpriestore a neuzavretý v inom), ohraničenosť je absolútny pojem.

Totálne ohraničený metrický priestor je vždy ohraničený, opačne to však neplatí.

• Pre každé ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle supA\geq x}$ a ${\displaystyle infA\leq x}$
• Ak množina ${\displaystyle A}$ je ohraničená zhora, tak má aj supremum.
• Ak množina ${\displaystyle A}$ je ohraničená zdola, tak má aj infimum.
• Ak ${\displaystyle supA\in A}$, tak ${\displaystyle {\mbox{sup A}}}$ je ${\displaystyle {\mbox{max A}}}$.
• Ak ${\displaystyle infA\in A}$, tak ${\displaystyle {\mbox{inf A}}}$ je ${\displaystyle {\mbox{min A}}}$.

• ohraničená funkcia

• Ohraničená množina