Suprémum

Suprémum množiny reálnych čísel $A$ je číslo $K$ také, ktoré je najmenším horným ohraničením. Horné ohraničenie je číslo väčšie alebo rovné ľubovoľnému prvku množiny $A$ . Supremum označujeme $K=\sup A$ .

Suprémum znamená aj všeobecne jav či prvok najbližší z ďalších nasledujúcich.

Najväčšie dolné ohraničenie nazývame infimum.

Definičné vlastnosti superéma

Keďže $K$ je horným ohraničením množiny $A$ , musí platiť $a<K$ pre všetky $a$ z množiny $A$ .
$K$ má byť najmenším horným ohraničením. Ak ho zmenšíme o ľubovoľnú kladnú hodnotu $\varepsilon$ , dostaneme $K-\varepsilon$ , čo už nesmie byť horným ohraničením.

Príklad

Majme množinu $A=\left\{{\frac {0}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},\dots \right\}=\left\{{\frac {n-1}{n}},n\in \mathbb {N} \right\}$ . Ukážeme, že $1$ je jej suprémom.

Musí platiť, že ${\frac {n-1}{n}}=1-{\frac {1}{n}}<1$ , čo je pravda pre každé prirodzené číslo $n$ .
Musí platiť, že pre každé $\varepsilon >0$ nebude hodnota $1-\varepsilon$ horným ohraničením množiny $A$ . Teda má existovať také $a\in A$ , pre ktoré bude väčšie ako $1-\varepsilon$ . Hodnoty $a$ môžeme zapísať ako ${\frac {n-1}{n}}$ , takže ekvivalentne možno povedať: Má existovať také $n\in \mathbb {N}$ , že ${\frac {n-1}{n}}>1-\varepsilon$ . Postupnými úpravami dospejeme k nerovnosti $n>{\frac {1}{\varepsilon }}$ , čo má určite celočíselné riešenie.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.