Dirichletova funkcia

Dirichletova funkcia D(x) je definovaná následujúcim predpisom:

${\displaystyle D(x)={\begin{cases}{\mbox{1; ak x je racionálne číslo}}\\{\mbox{0; ak x je iracionálne číslo}}\end{cases}}}$

Skutočný graf tejto funkcie nemožno žiadnym spôsobom nakresliť ani si ho predstaviť, čo viedlo mnohých matematikov hlavne v 19. storočí k pochybnostiam, či je Dirichletova funkcia skutočne funkciou či akousi „príšerou“, ktorá nepatrí do matematiky. Dnes už matematika celkom bez námietok uznáva aj omnoho zvláštnejšie funkcie.

Vlastnosti Dirichletovej funkcie:

• nie je spojitá v žiadnom bode
• nemá dokonca v žiadnom bode limitu a to ani jednostrannú.
• nie je monotónna na žiadnom intervale.
• nadobúda maximum v každom racionálnom bode a minimum v každom iracionálnom bode
• Lebesgueov integrál cez celý definičný obor je rovný 0, jej Newtonov integrál ani Riemannov integrál neexistujú

Môžeme ho uviesť napr. na intervale ${\displaystyle \mathbf {I} =\langle 0,1\rangle }$, podľa teórie Lebesgueovho integrálu má byť interval cez ktorý integrujeme lebesgueovsky merateľný. Interval ${\displaystyle \mathbf {I} =\langle 0,1\rangle }$ je podmnožina množiny reálnych čísel, teda je to zjednotenie množiny racionálnych čísel a množiny iracionálnych čísel (teda množina iracionálnych čísel je rovná množinovému rozdielu reálne čísla – racionálne čísla :${\displaystyle \mathbb {R-Q} }$.Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny  :${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (racionálne čísla) rovná 0, :${\displaystyle \mu (\mathbf {Q} )=0}$, pretože ide o spočítateľnú množinu, teda príspevok všetkých racionálnych čisel k integrálu je 0. Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny  :${\displaystyle \mu (\mathbf {R-Q} )=1}$ ( na intervale ${\displaystyle \mathbf {I} =\langle 0,1\rangle }$ ). V iracionálnych čislach je však ${\displaystyle \ D(x)=0}$, teda aj príspevok iracionálnych je rovný 0. Teda platí, že ${\displaystyle \int _{\mathbf {I} }D(x)\mathrm {d} x=0}$.

• Riemannova funkcia