Určitý integrál

Ak by sme rozdelili plochu pod grafom funkcie na intervale ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ na veľmi tenké obdĺžniky so stranou ${\displaystyle \Delta x}$ a výškou ${\displaystyle f(x)}$, tak ich obsahy je možné zapísať nasledovne
${\displaystyle {\begin{array}{l}s_{0}=\Delta x\cdot f(a)\\s_{1}=\Delta x\cdot f(x_{1})\\s_{2}=\Delta x\cdot f(x_{2})\\\vdots \\s_{n}=\Delta x\cdot f(b)\end{array}}}$
Pre interval, na ktorom počítame obsah platí ${\displaystyle \langle a=x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n-1},b=x_{n}\rangle }$. Ak budeme čoraz viac hodnôt ${\displaystyle x_{i}}$ "natláčať" do intervalu, tým bude obsah plochy presnejší. Logicky sa teda naskytuje úvaha, že ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. Je možné potom formálne zapísať daný súčet
${\displaystyle S=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=0}^{k}\Delta x\cdot f(x_{n})=\int _{a}^{b}f(x)\,{\textrm {d}}x}$
Tento súčet sa nazýva určitý integrál funkcie ${\displaystyle f}$ na intervale ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

Nech je funkcia ${\displaystyle f}$ spojitá na intervale ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ a existuje k nej primitívna funkcia ${\displaystyle F}$. Potom platí
${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\textrm {d}}x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)}$
Tento vzťah využíva k vyčísleniu určitého integrálu primitívnu funkciu. Pri výpočte sa používajú klasické integračné metódy cez tabuľkové integrály, substitučnú metódu alebo integrovanie per partes.

Vypočítajte obsah plochy ${\displaystyle M=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|\,2\leq x\leq 4,0\leq y\leq x\ln x\}}$. Hranice integrovania popisuje zadaná množina bodov v rovine. Počítame teda určitý integrál s využitím metódy per partes
${\displaystyle \int _{2}^{4}x\ln x\,{\textrm {d}}x=\left[{\frac {x^{2}\ln x}{2}}\right]_{2}^{4}-{\frac {1}{2}}\int _{2}^{4}x^{2}\cdot {\frac {1}{x}}\,{\textrm {d}}x=(8\ln 4-2\ln 2)-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{2}^{4}=\ln {\frac {4^{8}}{2^{2}}}-(4-1)=14\ln 2-3}$

Vzorec pre výpočet objemu rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou krivky (grafu funkcie) okolo osi x, sa odvodí taktiež pomocou veľmi malých elementov, tentokrát valcov. Predstavou, že teleso rozdelíme na veľmi tenké platne, sa ľahko odvodí daný vzťah. Skutočnosť, že nemusí ísť presne o valec, ale o zrezaný kužeľ, je zanedbateľná, nakoľko pracujeme s nekonečne malými priestorovými útvarmi. Jeden taký valec bude mať objem
${\displaystyle v=\pi \cdot f^{2}(x)\cdot {\textrm {d}}x}$
pričom vychádzame zo vzťahu pre výpočet objemu valca, kde v danom prípade je polomer podstavy rovný funkčnej hodnote a výška je nekonečne malé ${\displaystyle {\textrm {d}}x}$. Súčtom všetkých takých valcov dostaneme podobnou úvahou ako pri určovaní plochy, vzorec
${\displaystyle \int _{a}^{b}\pi \cdot f^{2}(x)\cdot {\textrm {d}}x=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,{\textrm {d}}x}$

Odvodíme vzorec pre objem rotačného kužeľa. Nechajme rotovať okolo osi x funkciu ${\displaystyle f(x)=kx}$ na intervale ${\displaystyle \langle 0,v\rangle }$, kde ${\displaystyle v}$ označuje výšku kužeľa a ${\displaystyle k}$ je smernica. Dosadením do vzťahu
V=${\displaystyle \pi \int _{0}^{v}k^{2}x^{2}\,{\textrm {d}}x=\pi k^{2}\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{v}={\frac {v^{3}k^{2}\pi }{3}}}$ Pre smernicu ${\displaystyle k}$ platí, že je to tangens uhla, ktorý zviera priamka s osou x. Preto ${\displaystyle k=\tan \phi =r/v}$. Dosadením do výsledku dostaneme konečný vzorec
${\displaystyle V={\frac {v^{3}r^{2}\pi }{3v^{2}}}={\frac {\pi r^{2}v}{3}}}$

Vo fyzike sa používa široké spektrum integrálov, ako napríklad dvojný, trojný, krivkový integrál. Mnoho integrálov sa používa pri výpočtoch z oblasti elektriny a magnetizmu ako napríklad Maxwellove rovnice využívajúce integrál vektorového poľa. Veľký pokrok nastal po objavení integrálu aj v oblasti astrofyziky a astronómie.

Na výpočet celkovej práce sa využíva vzťah
${\displaystyle \mathbf {W} =\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathbf {F} (s)\,{\textrm {d}}s}$

Vzorec pre výpočet hustoty vychádza z Pascalovho zákona
${\displaystyle P=\varrho g\int _{a}^{b}h\mathbf {S} (h)\,{\textrm {d}}h}$