Ohraničená funkcia

Majme funkciu ${\displaystyle f(x)}$, ktorej definičný obor je ${\displaystyle D(f)}$, a množinu ${\displaystyle A\subseteq D(f)}$.

• Ak existuje číslo ${\displaystyle K}$, také, že pre všetky ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle f(x)\leq K}$, potom hovoríme, že funkcia ${\displaystyle f}$ je ohraničená zhora v ${\displaystyle D}$. Ak existuje supremum oboru hodnôt funkcie ${\displaystyle f}$, potom tiež existuje číslo ${\displaystyle K}$ ktoré je najmenším horným ohraničením. Horné ohraničenie je teda číslo väčšie alebo rovné ľubovoľnému prvku množiny A.

• Ak existuje číslo ${\displaystyle L}$, také, že pre všetky ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle f(x)\geq L}$, potom hovoríme, že funkcia ${\displaystyle f}$ je ohraničená zdola v ${\displaystyle D}$. Ak existuje infimum oboru hodnôt funkcie ${\displaystyle f}$, potom tiež existuje číslo ${\displaystyle L}$ je najväčším dolným ohraničením. Dolné ohraničenie je teda číslo menšie alebo rovné ľubovoľnému prvku množiny A.

• Ak existuje číslo ${\displaystyle M}$, také, že pre všetky ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$, potom hovoríme, že funkcia ${\displaystyle f}$ je ohraničená v D. Ohraničená funkcia je teda ohraničená zhora i zdola, přičom

${\displaystyle M=\max\{|K|,|L|\}}$. Obor hodnôt ohraničenej funkcie má infimum i supremum.

• Ak funkcia nie je ohraničená zdola ani zhora, potom je neohraničená (neobmedzená).