Kmitání

Příklad skládání lineárních kmitů.

Skládání kmitů lze demonstrovat na skládání mechanických kmitavých pohybů.

Mějme např. hmotný bod, který harmonicky kmitá ve směru osy ${\displaystyle x}$ s úhlovou frekvencí ${\displaystyle \omega }$. Stejný hmotný bod však může kmitat např. podél osy ${\displaystyle y}$ s úhlovou frekvencí ${\displaystyle \varphi }$. Pohyb hmotného bodu při současném kmitání podél osy ${\displaystyle x}$ s úhlovou frekvencí ${\displaystyle \omega }$ a podél osy ${\displaystyle y}$ s úhlovou frekvencí ${\displaystyle \varphi }$ bude určen superpozicí obou samostatných pohybů.

Máme-li dva kmity ležící v jedné přímce, tzv. rovnoběžné (stejnosměrné) kmity, leží i výsledné kmity na této přímce a výslednou výchylku dostaneme jako algebraický součet jednotlivých výchylek v daném okamžiku.

Pokud leží kmity ve společné rovině, leží v této rovině i výsledné kmity a výslednou výchylku získáme jako vektorový součet jednotlivých výchylek v daném okamžiku. Nejjednodušším případem skládání kmitů ležících v jedné rovině je skládání kolmých kmitů.

Výsledné kmity získané složením harmonických kmitů nemusí být harmonickými kmity.

Lze dokázat, že všechny periodické kmity lze vyjádřit superpozicí (součtem) určitého (obecně až nekonečně velkého) počtu harmonických (sinusoidálních) kmitů různé amplitudy a frekvence. K rozložení periodického kmitu na jeho harmonické složky se využívá tzv. harmonické analýzy.

Vektorové skládání kmitů.

Pro zobrazení skládání kmitů se s výhodou používá vektorové znázornění kmitů.

Např. harmonický kmit zapsaný ve tvaru

$${\displaystyle z=A\sin(\omega t+\varphi )}$$

lze považovat za imaginární část výrazu

$${\displaystyle z=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\omega t+\varphi )}}$$

tedy

$${\displaystyle z=\Im \left[A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\omega t+\varphi )}\right]}$$

Někdy se používá reálná část, tzn.

$${\displaystyle z=\Re \left[A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\omega t+\varphi )}\right]=A\cos(\omega t+\varphi )}$$

Tento vztah lze graficky zobrazit jako vektor v rovině, jehož poloha v čase ${\displaystyle t=0}$ je dána úhlem ${\displaystyle \varphi }$ vzhledem k vodorovné ose (zde osa x), a který rotuje kolem počátku s úhlovou rychlostí ${\displaystyle \omega }$.

Zobrazením dvou (nebo i více) kmitavých pohybů najednou a jejich vektorovým sečtením získáme výsledný kmitavý pohyb.

Dva harmonické kmity dané rovnicemi

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=A_{1}\sin(\omega _{1}t+\varphi _{1})\\x_{2}=A_{2}\sin(\omega _{2}t+\varphi _{2})\end{aligned}}}$$

probíhají ve směru stejné osy (např. x), pak se nazývají rovnoběžné (stejnosměrné).

Kmitavý pohyb, který získáme složením těchto kmitů lze získat algebraickým sečtením jednotlivých složek, tzn.

$${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}}$$

Výsledný kmitavý pohyb je tedy rovnoběžný s původními kmity, z nichž vznikl.

Mějme dva harmonické kmity se stejnou úhlovou frekvencí ${\displaystyle \omega }$, tzv. izochronní kmity

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=A_{1}\sin(\omega t+\varphi _{1})\\x_{2}=A_{2}\sin(\omega t+\varphi _{2})\end{aligned}}}$$

Složením těchto rovnoběžných kmitů dostaneme

$${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}=A_{1}\sin(\omega t+\varphi _{1})+A_{2}\sin(\omega t+\varphi _{2})=A\sin(\omega t+\varphi )}$$

,

kde pro výslednou amplitudu ${\displaystyle A}$ platí

$${\displaystyle A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}$$

a pro ${\displaystyle \varphi }$ (tzv. fázový posun) platí

$${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {A_{1}\sin \varphi _{1}+A_{2}\sin \varphi _{2}}{A_{1}\cos \varphi _{1}+A_{2}\cos \varphi _{2}}}}$$

Fázový posun představuje vzájemné posunutí fází dvou kmitajících složek jediného kmitavého pohybu.

Speciálním případem je skládání kmitů se stejnou (popř. opačnou) fází.

Je-li rozdíl počátečních fází dvou kmitů ${\displaystyle \varphi _{2}-\varphi _{1}=2k\pi }$, kde ${\displaystyle k}$ je celé číslo, mají oba skládané kmity stejnou fázi. V takovém případě lze položit ${\displaystyle \varphi =\varphi _{1}=\varphi _{2}}$ a amplituda je dána jako ${\displaystyle A=A_{1}+A_{2}}$. Při vektorovém znázornění leží oba kmity na stejné přímce a mají stejný směr.

Skládáme-li kmity s opačnými fázemi, lze počáteční fáze zapsat jako ${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi ,\varphi _{2}=\varphi +\pi }$. Amplituda kmitu je rovna ${\displaystyle A=A_{2}-A_{1}}$. Při vektorovém znázornění leží vektory ${\displaystyle A_{1}}$ a ${\displaystyle A_{2}}$ na stejné přímce, ale mají opačný směr. Je-li ${\displaystyle A_{1}=A_{2}}$, je výsledná amplituda nulová, tzn. ${\displaystyle A=0}$, tzn. oba kmity se navzájem vyruší.

Jedná se o zvláštní případ skládání dvou rovnoběžných harmonických kmitů, které mají různé, ale blízké frekvence.

Rázy (zázněje).

Pro zjednodušení předpokládejme, že amplitudy obou kmitů jsou stejné, tj. ${\displaystyle A_{0}=A_{1}=A_{2}}$, a fázový posun je nulový, tzn. ${\displaystyle \varphi =\varphi _{1}=\varphi _{2}}$. Hledáme tedy výsledný kmitavý pohyb, který sestává z těchto kmitů

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=A_{0}\sin \omega _{1}t\\x_{2}=A_{0}\sin \omega _{2}t\end{aligned}}}$$

Výsledný kmit lze zapsat ve tvaru

$${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}=A_{0}(\sin \omega _{1}t+\sin \omega _{2}t)}$$

Pomocí vhodné substituce lze pravou stranu upravit na

$${\displaystyle x=2A_{0}\cos \left({\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{2}}t\right)\sin \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t\right)}$$

Pokud se úhlové kmitočty ${\displaystyle \omega _{1}}$ a ${\displaystyle \omega _{2}}$ příliš neliší, pak platí ${\displaystyle (\omega _{2}-\omega _{1})\ll (\omega _{1}+\omega _{2})}$. To znamená, že kosinus, v němž vystupuje ${\displaystyle \omega _{2}-\omega _{1}}$, se mění mnohem pomaleji než sinus, v němž vystupuje výraz ${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}}$. To nám umožňuje považovat předchozí vztah za kmitání s úhlovou frekvencí ${\displaystyle \omega ={\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\approx \omega _{1}\approx \omega _{2}}$ s pomalu se měnící amplitudou

$${\displaystyle A(t)=2A_{0}\cos \left({\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{2}}t\right)}$$

Periodické kolísání amplitudy se projevuje tzv. rázy (záznějemi).

Vzájemně kolmé harmonické kmity nelze skládat pouhým algebraickým součtem výchylek, ale je nutné je skládat vektorově.

Příkladem mohou být dva vzájemně kolmé harmonické kmitavé pohyby

$${\displaystyle {\begin{aligned}x=A_{1}\sin(\omega _{1}t+\varphi _{1})\\y=A_{2}\sin(\omega _{2}t+\varphi _{2})\end{aligned}}}$$

Tyto kmity leží v rovině dané osami x a y, výsledné kmity budou také ležet v této rovině.

V jednoduchém případě kmitů o stejné amplitudě ${\displaystyle A=A_{1}=A_{2}}$ a stejných úhlových frekvencích ${\displaystyle \omega =\omega _{1}=\omega _{2}}$ a ${\displaystyle \varphi _{1}={\frac {\pi }{2}}}$ a ${\displaystyle \varphi _{2}=0}$, se jedná o kmity popsané rovnicemi

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=A\sin \left(\omega t+{\frac {\pi }{2}}\right)=A\cos \omega t\\y&=A\sin \omega t\end{aligned}}}$$

Tyto rovnice však odpovídají rovnicím pro rozklad kruhového pohybu do směrů os pravoúhlé soustavy souřadnic. Výsledný kmitavý pohyb má tedy tvar kružnice.

O tomto tvrzení se lze jednoduše přesvědčit tak, že předchozí rovnice umocníme a sečteme, čímž dostaneme ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=A^{2}}$, což představuje rovnici kružnice o poloměru ${\displaystyle A}$ v rovině, která je určena osami x a y.

Obecně je výsledkem skládání dvou harmonických kmitů o stejné frekvenci pohyb po elipse, která ve zvláštních případech přechází v kružnici nebo úsečku.

Výsledný pohyb při skládání dvou kolmých harmonických kmitů různých frekvencí, amplitud a počátečních fází probíhá jako periodický pohyb po křivkách nazývaných Lissajousovy obrazce (křivky).