Substituce (matematika)

Řešení exponenciální rovnice pomocí substituce:

1. ${\displaystyle 2^{2x}+2^{x}-6=0}$
2. Zavedeme substituci ${\displaystyle a=2^{x}}$:
   ${\displaystyle a^{2}+a-6=0}$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   ${\displaystyle a_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)}}}{2\cdot 1}}={\frac {-1\pm {\sqrt {25}}}{2}}={\frac {-1\pm 5}{2}}}$
   
   ${\displaystyle a_{1}={\frac {-1+5}{2}}={\frac {4}{2}}=2}$
   
   ${\displaystyle a_{2}={\frac {-1-5}{2}}={\frac {-6}{2}}=-3}$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. ${\displaystyle 2=2^{x}}$
   2. ${\displaystyle -3=2^{x}}$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. ${\displaystyle 2=2^{x}}$
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo ${\displaystyle 2}$ se dá napsat jako ${\displaystyle 2^{1}}$:
         ${\displaystyle 2^{1}=2^{x}}$
      2. ${\displaystyle 1=x}$
      3. Výsledek je:
         ${\displaystyle x=1}$
         Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
   2. ${\displaystyle -3=2^{x}}$
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit (alespoň mimo komplexní čísla, jinak je odpověď ${\displaystyle {\frac {i{\pi }+ln(3)}{ln(2)}}}$).

Řešení goniometrické rovnice pomocí substituce:

1. ${\displaystyle (\sin x)^{2}+2\sin x-3=0}$
2. Zavedeme substituci ${\displaystyle a=\sin x}$:
   ${\displaystyle a^{2}+2a-3=0}$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   ${\displaystyle a_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)}}}{2\cdot 1}}={\frac {-2\pm {\sqrt {16}}}{2}}={\frac {-2\pm 4}{2}}}$
   
   ${\displaystyle a_{1}={\frac {-2+4}{2}}={\frac {2}{2}}=1}$
   
   ${\displaystyle a_{2}={\frac {-2-4}{2}}={\frac {-6}{2}}=-3}$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. ${\displaystyle \sin x=1}$
   2. ${\displaystyle \sin x=-3}$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. ${\displaystyle \sin x=1}$
      ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\pi +2k\pi }$
   2. ${\displaystyle \sin x=-3}$
      rovnice nemá reálné řešení
      Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.