Samoadjungovaný operátor

Nechť ${\displaystyle (H,\langle .,.\rangle )}$ je Hilbertův prostor sestávající z vektorového prostoru ${\displaystyle H}$ a skalárního součinu ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ a nechť ${\displaystyle T\colon H\to H}$ je omezený lineární operátor. Pokud operátor ${\displaystyle T}$ splňuje rovnici

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,}$

nazývá se samoadjungovaný.[1]

Nechť ${\displaystyle (H,\langle .,.\rangle )}$ je Hilbertův prostor sestávající z vektorového prostoru ${\displaystyle H}$ a skalárního součinu ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ a nechť ${\displaystyle T\colon D(T)\to H}$ je hustě definovaný operátor. Nechť ${\displaystyle D(T^{*})}$ je prostor všech ${\displaystyle y\in H,}$ takový, že lineární funkcionál

${\displaystyle x\mapsto \langle Tx,y\rangle }$

je spojitý. Tento funkcionál má definiční obor ${\displaystyle D(T)}$, a proto je hustě definovaný v ${\displaystyle H}$. Proto má jednoznačně spojité rozšíření na celé ${\displaystyle H}$. Podle Rieszovy věty o reprezentaci existuje jednoznačně určený prvek ${\displaystyle T^{*}y\in H,}$ takový, že

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle }$

platí pro všechna ${\displaystyle x\in H}$. Operátor ${\displaystyle T^{*}}$ s definičním oborem ${\displaystyle D(T^{*})}$ je k ${\displaystyle T}$ jednoznačně přiřazený sdružený operátor.

Operátor ${\displaystyle T}$ se nazývá samoadjungovaný, pokud platí ${\displaystyle T=T^{*}}$ a ${\displaystyle D(T)=D(T^{*}),}$ tedy pokud operátor ${\displaystyle T}$ se svým adjungovaným operátorem ${\displaystyle T^{*}}$ mají stejný definiční obor.[2]

Nechť ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ je reálné nebo komplexní těleso a nechť je ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ je skalární součin na ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$ pak ${\displaystyle (\mathbb {K} ^{n},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ je Hilbertův prostor. Matice ${\displaystyle A}$ se nazývá samoadjungovaná, pokud pro všechna ${\displaystyle x,y\in \mathbb {K} ^{n}}$ platí

${\displaystyle \langle Ay,x\rangle =\langle y,Ax\rangle .}$

Matici ${\displaystyle A}$ chápeme jako Lineární zobrazení na ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$. Protože ${\displaystyle A}$ je zobrazení mezi vektorovými prostory konečné dimenze, je zobrazení reprezentované ${\displaystyle A}$ omezené, a proto je spojité a tedy také hustě definované. Samoadjungovaná matice je tedy také samoadjungovaným operátorem. Pokud uvažujeme ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ se svým standardním skalárním součinem, pak symetrické matice odpovídají samoadjungovaným. V případě ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ s odpovídajícím kanonickým skalárním součinem jsou Hermitovské matice samoadjungované.

Operátor ${\displaystyle T\colon D(T)\to H}$ se nazývá symetrický, pokud pro všechny ${\displaystyle x,\,y\in D(T)}$ platí

${\displaystyle \langle Ty,x\rangle =\langle y,Tx\rangle }$

Na rozdíl od samoadjungovaného operátoru se nevyžaduje, aby operátor ${\displaystyle T}$ byl hustě definovaný (ale v literatuře to není jednotné). Je-li ${\displaystyle T}$ hustě definovaný (a v důsledku toho je adjungovaný operátor dobře definovaný), pak je ${\displaystyle T}$ symetrický, pravě tehdy, když platí ${\displaystyle T\subseteq T^{*}}$. Pro omezené operátory se pojmy samoadjungovaný a symetrický shodují. Proto jsou symetrické, ale ne samoadjungované operátory vždy neomezené. Hellingerova-Toeplitzova věta kromě toho říká, že každý symetrický operátor definovaný na celém ${\displaystyle H}$ je spojitý a proto je také samoadjungovaný.

Operátor ${\displaystyle T\colon D(T)\to H}$ se nazývá v podstatě samoadjungovaný, pokud je symetrický, hustě definovaný a jeho uzávěr je samoadjungovaný. V podstatě samoadjungovaný operátor můžeme tedy vždy rozšířit na samoadjungovaný.

Symetrické matice ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ můžeme chápat jako operátory ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$. S ohledem na standardní skalární součiny je každá symetrická matice samoadjungovaná, to jest je samoadjungovaným operátorem.

Pokud je operátor omezený, pak, jak již bylo uvedeno, jsou pojmy symetrický operátor, v podstatě samoadjungovaný operátor a samoadjungovaný operátor ekvivalentní. V případě neomezených operátorů implikuje samoadjungovanost symetrii, ale obráceně to neplatí. Protipříklad ukazuje následující dvojice:

1. Uvažujeme Hilbertův prostor ${\displaystyle C^{\infty }((0,1))\cap L^{2}((0,1))}$ a diferenciální operátor ${\displaystyle p_{1}:=-{\rm {i}}\,{\tfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}={\tfrac {1}{\rm {i}}}\,{\tfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}}$ s dirichletovskými okrajovými podmínkami ${\displaystyle \psi (0)=\psi (1)=0}$.
2. a pro jeho rozšíření ${\displaystyle p_{2},}$ požadujeme pouze „periodičnost“: ${\displaystyle \psi (1)=\psi (0)}$.

Z řetězu rovností

${\displaystyle \langle u,p_{i}v\rangle _{L^{2}}-\langle p_{i}u,v\rangle _{L^{2}}=\int _{0}^{1}{\overline {u(x)}}\cdot p_{i}v(x)-{\overline {p_{i}u(x)}}\cdot v(x)\mathrm {d} x=-{\rm {i}}\cdot \left({\overline {u}}(1)\cdot v(1)-{\overline {u}}(0)\cdot v(0)\right)=0}$

plyne, že operátory ${\displaystyle p_{i}}$ pro ${\displaystyle i\in \{1,2\}}$ jsou symetrické. Avšak pouze operátor ${\displaystyle p_{2}}$ je samoadjungovaný, protože v prvním případě je definiční obor zbytečně omezený. Pak nemá vůbec žádné vlastní funkce, protože ty jsou všechny ve tvaru ${\displaystyle \exp(i\lambda _{n}\cdot x)}$, takže požadovaná podmínka ${\displaystyle \psi (0)=0}$ bude porušena.

Laplaceův operátor ${\displaystyle \Delta \colon D(\Delta )\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ je neomezený operátor. S ohledem na ${\displaystyle L^{2}}$-skalární součiny je samoadjungovaný. To znamená, že je pro tento skalární součin symetrický, což pro všechny ${\displaystyle f,\,g\in D(\Delta )}$ znamená

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\Delta f(x)g(x)\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\Delta g(x)\mathrm {d} x,}$

a je hustě definovaný. Diferenciál je zde potřeba chápat ve slabém smyslu. Pro definiční obor tedy platí

${\displaystyle D(\Delta )=\{u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}):\Delta u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\}.}$

Tomu vyhovuje Sobolevův prostor ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ kvadraticky integrovatelné a dvakrát slabě diferencovatelné funkce, které jsou husté v ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$. Symetrie Laplaceova operátoru plyne z Greenových identit.

Nechť ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ je prostor s mírou a ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ je měřitelná funkce. Operátor násobení ${\displaystyle M_{f}\colon D(M_{f})\to L^{2}(\mu )}$ s definičním oborem ${\displaystyle D(M_{f})=\{x\in L^{2}(\mu ):f\cdot x\in L^{2}(\mu )\}\subset L^{2}(\mu )}$ definujeme vztahem

${\displaystyle x\mapsto M_{f}x:=f\cdot x.}$

Tento operátor je neomezený a hustě definovaný, protože pro ${\displaystyle \Omega _{n}:=\{\omega \in \Omega$ :|f(\omega )|\leq n\}} obsahuje ${\displaystyle D(M_{f})}$ všechny ${\displaystyle L^{2}}$-třídy, které mimo z ${\displaystyle \Omega _{n}}$ zanikají, a kvůli ${\displaystyle \textstyle \Omega =\bigcup _{n}\Omega _{n}}$ je ${\displaystyle D(M_{f})\subset L^{2}(\mu )}$ hustý. Kromě toho je ${\displaystyle M_{f}}$ s ohledem na ${\displaystyle L^{2}}$-skalární součiny symetrický. Operátor je také samoadjungovaný. Protože pro symetrický operátor, jmenovitě ${\displaystyle M_{f}\subset M_{f}^{*},}$ platí, že ${\displaystyle D(M_{f})\subset D(M_{f}^{*})}$ a ${\displaystyle M_{f}^{*}|_{D(M_{f})}=M_{f},}$ znamená to, že pro samoadjungovaný operátor musí platit ${\displaystyle D(M_{f}^{*})\subset D(M_{f})}$. Nechť ${\displaystyle \chi _{n}}$ je charakteristická funkce z ${\displaystyle \Omega _{n}}$. Pro ${\displaystyle z\in D(M_{f})}$ a ${\displaystyle x\in D(M_{f}^{*})}$ platí

${\displaystyle \langle z,\chi _{n}M_{f}^{*}x\rangle _{L^{2}}=\langle \chi _{n}z,M_{f}^{*}x\rangle _{L^{2}}=\langle M_{f}(\chi _{n}z),x\rangle _{L^{2}}=\langle f\chi _{n}z,x\rangle _{L^{2}}.}$

To znamená, že ${\displaystyle \chi _{n}M_{f}^{*}x=\chi _{n}fx}$ platí skoro všude. Tam, kde ${\displaystyle \chi _{n}\to 1}$ bodově konverguje, platí ${\displaystyle M_{f}^{*}x=fx}$ skoro všude. Protože ${\displaystyle M_{f}^{*}x=fx}$ leží v ${\displaystyle L^{2},}$ je ${\displaystyle x\in D(M_{f})}$, odtud ${\displaystyle D(M_{f})=D(M_{f}^{*}),}$ čímž jsme dokázali, že ${\displaystyle D(M_{f})}$ je samoadjungovaný.

${\displaystyle T}$ je samoadjungovaný operátor právě tehdy, když v ${\displaystyle H}$ platí

1. ${\displaystyle T=T^{*}=T^{**}}$.

${\displaystyle T}$ je samoadjungovaný operátor právě tehdy, když v ${\displaystyle H}$, pokud jsou splněny následující podmínky:

1. ${\displaystyle T}$ je symetrický.
2. ${\displaystyle T}$ je uzavřený.
3. Nulové prostory operátorů ${\displaystyle T^{*}-\mathrm {i} \cdot Id_{H}}$ a ${\displaystyle T^{*}+\mathrm {i} \cdot Id_{H}}$ jsou rovné ${\displaystyle \{0\}}$.

U nulových prostorů vyskytujících se v poslední podmínce zjišťujeme jejich dimenze. V případě symetrického operátoru ${\displaystyle T}$ to nazýváme defektní indexy. Poslední zmíněnou podmínku lze proto také vyjádřit, že defektní indexy ${\displaystyle T}$ jsou rovny 0.

Podmínky 2 a 3 druhého kritéria lze interpretovat jako jedinou, a tímto způsobem dostaneme pro samoadjungovanost ${\displaystyle T}$ další rovnocenné kritérium:

${\displaystyle T}$ je samoadjungovaný operátor v ${\displaystyle H}$, právě tehdy, když pokud jsou splněny následující podmínky:

1. ${\displaystyle T}$ je symetrický.
2. Obor hodnot operátorů ${\displaystyle T-\mathrm {i} \cdot Id_{H}}$ a ${\displaystyle T+\mathrm {i} \cdot Id_{H}}$ je roven ${\displaystyle H}$.

Čtvrté kritérium ukazuje, že samoadjungovanost hustě definovaného operátoru je v podstatě určeno polohou jeho spektra v reálných číslech:

${\displaystyle T}$ je samoadjungovaný operátor v ${\displaystyle H}$ právě tehdy, když jsou splněny následující podmínky:

1. ${\displaystyle T}$ je symetrický.
2. Spektrum ${\displaystyle T}$ je tvořeno pouze reálnými čísly, tedy ${\displaystyle \sigma (T)\subset \mathbb {R} }$.

Nechť ${\displaystyle (H,\langle .,.\rangle _{H})}$ je Hilbertův prostor a ${\displaystyle \Sigma }$ je borelovská σ-algebra. Pro každý samoadjungovaný operátor ${\displaystyle T\colon D(T)\to H}$ existuje jednoznačná spektrální míra ${\displaystyle E\colon \Sigma \to L(H,H),}$ taková, že pro ${\displaystyle x\in D(T)}$ a ${\displaystyle y\in H}$ platí

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle _{H}=\int _{\mathbb {R} }t\,\mathrm {d} \langle E_{t}\,x,y\rangle _{H}.}$

Tento výrok je spektrální věta pro neomezené samoadjungované operátory. Pokud požadujeme, aby operátory byl omezený a samoadjungovaný nebo dokonce i kompaktní a samoadjungované, pak se výsledek zjednoduší. To je podrobněji vysvětleno v článku Spektrální věta.

Nechť ${\displaystyle H}$ je Hilbertův prostor a nechť ${\displaystyle T\colon H\supset D(T)\to H}$ je samoadjungovaný operátor. Pak existuje (v separabilním případě ${\displaystyle \sigma }$-konečný) prostor s mírou ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$, měřitelná funkce ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ a unitární operátor ${\displaystyle U\colon H\to L^{2}(\mu )}$, tak že platí:

1. ${\displaystyle x\in D(T)\Leftrightarrow f\cdot Ux\in L^{2}(\mu )}$ a
2. ${\displaystyle UTU^{*}\phi =f\cdot \phi }$ pro ${\displaystyle \phi \in \{\phi \in L^{2}(\mu ):f\cdot \phi \in L^{2}(\mu )\}}$.

V podstatě je tedy operátor násobení ${\displaystyle \phi \mapsto f\cdot \phi }$ jediným příkladem samoadjungovaného operátoru.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Selbstadjungierter Operator na německé Wikipedii.

• CYCON, Hans; FROESE, Richard G.; KIRSCH, Werner; SIMON, Barry, 1987. Schrödinger Operators. [s.l.]: Springer.
• HIRZEBRUCH, Friedrich; SCHARLAU, Winfried, 1971. Einführung in die Funktionalanalysis. Mannheim [u. a.]: Bibliographisches Institut. Dostupné v archivu pořízeném dne 2017-08-28. ISBN 3-411-00296-4.
• MEISE, Reinhold; VOGT, Dietmar, 1992. Einführung in die Funktionalanalysis. Braunschweig [u. a.]: Vieweg Verlag. MR1195130 Dostupné online. ISBN 3-528-07262-8.^{[nedostupný zdroj]}
• REED, Michael; SIMON, Barry, 1978, 1980. Methods of Modern Mathematical Physics; 4 Bände. [s.l.]: Academic Press.
• RUDIN, Walter, 1991. Functional Analysis. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054236-8. Kap. 13.
• TESCHL, Gerald, 2009. Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence RI: American Mathematical Society. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-4660-5.
• WERNER, Dirk, 2007. Funktionalanalysis. 6., upravené. vyd. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-72533-6. S. 342–347.