Prostor s mírou

Prostor s mírou je uspořádaná trojice ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ),}$ kde[2][3]

• ${\displaystyle X}$ je nějaká množina
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je sigma-algebra na množině ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu }$ je nějaká míra na ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

Jednoduše lze říct, že prostor s mírou je měřitelný prostor ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ s mírou na ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$.

Uvažujme množinu ${\displaystyle X=\{0,1\}}$. Na konečných množinách bývá ${\textstyle \sigma }$-algebra obvykle celá potenční množina, neboli množina všech podmnožin dané množiny značená ${\textstyle {\mathcal {P}}(\cdot )}$. Nechť

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)}$

V tomto jednoduchém případě lze potenční množinu vypsat výčtem prvků:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}$

Míru ${\textstyle \mu }$ definujeme takto

${\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}$

takže ${\textstyle \mu (X)=1}$ (díky aditivitě míry) a ${\textstyle \mu (\emptyset )=0}$ (z definice míry).

Tím dostaneme prostor s mírou ${\textstyle (X,{\mathcal {P}}(X),\mu )}$. Tento prostor je pravděpodobnostním prostorem, protože ${\textstyle \mu (X)=1}$. Míra ${\textstyle \mu }$ odpovídá alternativnímu (Bernoulliho) rozdělení s ${\textstyle p={\frac {1}{2}},}$ které se používá například jako model házení poctivou mincí.

• Konečně měřitelné prostory jsou prostory vybavené konečnou mírou.
• Pravděpodobnostní prostory jsou konečně měřitelné prostory vybavené pravděpodobnostní mírou, tj. takovou mírou, která celé množině ${\displaystyle X}$ přiřazuje míru 1.
• ${\displaystyle \sigma }$-konečně měřitelné prostory jsou prostory, jejichž míra je σ-konečná.[4]
• Úplně měřitelné prostory jsou prostory vybavené úplnou mírou.[5]