Ortonormální báze

Nechť ${\displaystyle V}$ je konečně rozměrný eukleidovský vektorový prostor se skalárním součinem ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, který indukuje normu ${\displaystyle \|\cdot \|}$. Pod ortonormální bází prostoru ${\displaystyle V}$ pak rozumíme bázi ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}}$ z ${\displaystyle V}$ s těmito vlastnostmi:

• ${\displaystyle \|b_{i}\|=1}$ pro všechny ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$.
• ${\displaystyle \langle b_{i},b_{j}\rangle =0}$ pro všechny ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$ s ${\displaystyle i\neq j}$.

Například následující množina je ortonormální bází euklidovského vektorového prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (spolu s přirozeně definovaným skalárním součinem).

${\displaystyle {\vec {i}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\vec {j}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\vec {k}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

Každý z těchto vektorů má délku 1 a všechny jsou na sebe kolmé protože jejich skalární součin je roven nule.

Základním algoritmem pro získání ortonormální báze z libovolné báze je Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.

V obecném případě unitárního prostoru ${\displaystyle V}$ nekonečné dimenze, nazýváme ortonormálním systémem ${\displaystyle S}$ ve ${\displaystyle V}$ takový systém, jehož lineární obal leží hustě ve ${\displaystyle V}$.

Úplný ortonormální systém ${\displaystyle S}$ má proto tu vlastnost, že pro každý prvek ${\displaystyle v\in V}$ můžeme psát Fourierův rozvoj:

${\displaystyle v=\sum _{u\in S}\langle v,u\rangle u}$.

Je důležité zdůraznit, že ve smyslu tohoto odstavce, v protikladu k případu s konečnou dimenzí, není ortonormální báze žádnou bází v běžném smyslu lineární algebry. To znamená, že prvek ${\displaystyle v}$ nelze obecně zapsat jako lineární kombinaci konečného počtu bázových vektorů (prvků z ${\displaystyle S}$), ale jen jako sumu počitatelného nekonečného počtu prvků z ${\displaystyle S}$, tedy jako nekonečnou řadu. Jinými slovy: Lineární obal není roven prostoru ${\displaystyle V}$, leží ale hustě v tomto prostoru.