Nabla

Platí, že operátor nabla na druhou funkce je Laplaceův operátor od dané funkce. Laplaceův operátor jsou druhé parciální derivace funkce podle souřadnic. Laplaceův operátor může být aplikován buď na vektor nebo skalární pole a je definovatelný takto: ${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$

Toto má uplatnění například v matematické fyzice, objevuje se například v Poissonově rovnici, rovnici vedení tepla, vlnové rovnici, a Schrödingerově rovnici.

Následující pravidla platí pro (ve fyzice nejobvyklejší) trojdimenzionální eukleidovský prostor R³ s pravoúhlými souřadnicemi x, y a z.

• Aplikací na skalární pole ${\displaystyle {\begin{matrix}\Phi (x,y,z)\end{matrix}}}$ dostáváme gradient tohoto skalárního pole:

${\displaystyle \operatorname {grad} \Phi =\nabla \Phi =\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}},{\frac {\partial \Phi }{\partial y}},{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\mathbf {e} _{x}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\mathbf {e} _{z},}$

kde ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\ \mathbf {e} _{y},\ \mathbf {e} _{z}}$ jsou jednotkové vektory prostoru R³.

• Skalárním součinem nably s vektorovým polem ${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {V} (x,y,z)\end{matrix}}}$ dostáváme divergenci tohoto pole:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {V} ={\nabla }\cdot \mathbf {V} ={\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}.}$

• Rotaci vektorového pole ${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {V} (x,y,z)\end{matrix}}}$ pak získáme vektorovým součinem ${\displaystyle \nabla }$ s tímto polem.

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {V} ={\nabla }\times \mathbf {V} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\\\end{pmatrix}}.}$

Dále pak pro libovolná skalární pole φ, ψ a f a vektorová pole A a B platí následující početní operace:

${\displaystyle \nabla (\psi \varphi )=\psi \nabla \varphi +\varphi \nabla \psi }$

${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}$

${\displaystyle \nabla f(r)={\frac {df}{dr}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {A} )=\varphi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \varphi }$

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )}$

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \varphi \equiv \Delta \varphi }$ (viz také Laplaceův operátor)

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \nabla \times \varphi \mathbf {A} =\varphi \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \times \nabla \varphi }$

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \nabla )\mathbf {A} -\mathbf {B} (\nabla \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \nabla )\mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla \times \nabla \varphi =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\Delta \mathbf {A} }$