Riemannův součet

Nechť ${\displaystyle f:\langle a,b\rangle \rightarrow \mathbb {R} }$ je funkce definovaná na uzavřeném intervalu ${\displaystyle I=\langle a,b\rangle }$ reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a

${\displaystyle P=\left\{\langle x_{0},x_{1}\rangle ,\langle x_{1},x_{2}\rangle ,\dots ,\langle x_{n-1},x_{n}\rangle \right\}}$⁠,

je dělení tohoto intervalu, tj.

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b}$.

Riemannův součet ${\displaystyle S}$ funkce f na intervalu I s dělením P pak definujeme výrazem

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}}$

kde ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ a ${\displaystyle x_{i}^{*}\in \langle x_{i-1},x_{i}\rangle }$[1]. Jaký bod intervalu se použije jako ${\displaystyle x_{i}^{*}}$, není důležité, protože hodnoty ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ se blíží k nule, stejně jako rozdíl mezi jakýmikoli dvěma body v intervalu. To je působeno tím, že volba ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ v intervalu ${\displaystyle \langle x_{i-1},x_{i}\rangle }$ je libovolná a tak pro jakoukoli danou funkci f definovanou na intervalu I a pevné dělení P, můžeme vytvářet různé Riemannovy součty v závislosti na tom, jak je zvolen bod ${\displaystyle x_{i}^{*}}$, pokud platí ${\displaystyle x_{i-1}\leq x_{i}^{*}\leq x_{i}}$.

Pro různé volby ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ dostáváme různé typy Riemannových součtů:

• Pokud ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}}$ pro všechna i, pak S se nazývá levý Riemannův součet.[2][3]
• Pokud ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}}$ pro všechna i, pak S se nazývá pravý Riemannův součet.[2][3]
• Pokud ${\displaystyle x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2}$ pro všechna i, pak S se nazývá nebo středový Riemannův součet (anglicky midpoint rule).[2][3]
• Pokud ${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\sup f(\langle x_{i-1},x_{i}\rangle )}$ (tj. supremum funkce f na intervalu ${\displaystyle \langle x_{i-1},x_{i}\rangle }$), pak S je horní Riemannův součet nebo horní Darbouxův součet.
• Pokud ${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\inf f(\langle x_{i-1},x_{i}\rangle )}$ (tj. infimum funkce f na intervalu ${\displaystyle \langle x_{i-1},x_{i}\rangle }$), pak S je dolní Riemannův součet nebo dolní Darbouxův součet.

Všechny tyto volby patří k nejjednodušším metodám numerické integrace. Zhruba řečeno, funkce je Riemannovsky integrovatelná, pokud všechny Riemannovy součty při „zjemňování“ dělení konvergují ke stejné hodnotě.

Průměr levých a pravých Riemannových součtů představuje nejjednodušší z mnoha způsobů aproximace integrálu pomocí vážených průměrů; tento konkrétně se nazývá lichoběžníková metoda. Ke složitějším patří Simpsonova metoda a Newtonovy–Cotesovy vzorce.

Hodnota jakéhokoli Riemannova součtu na daném dělení (tj. pro jakoukoli volbu ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ mezi ${\displaystyle x_{i-1}}$ a ${\displaystyle x_{i}}$) leží mezi dolním a horním Darbouxovým součtem. Ty jsou základem Darbouxova integrálu, který je ekvivalentní s Riemannovým integrálem.

Pro podrobnější rozbor čtyř metod Riemannovy sumace použijeme dělení intervalu na stejné díly. Interval ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ rozdělíme na n podintervalů, každý délky

${\displaystyle \Delta x={\frac {b-a}{n}}.}$

Body dělení budou

${\displaystyle a,a+\Delta x,a+2\,\Delta x,\ldots ,a+(n-2)\,\Delta x,a+(n-1)\,\Delta x,b.}$

Levý Riemannův součet

Levý Riemannův součet pro funkci x³ na intervalu ${\displaystyle \langle 0,2\rangle }$ rozděleném na 4 podintervaly

U levého Riemannova součtu aproximujeme hodnotu funkce její hodnotou v levém koncovém bodě. Dostaneme několik obdélníků s základnou velikosti Δx a výškami f(a + iΔx). Celková plocha bude

${\displaystyle \Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2\,\Delta x)+\cdots +f(b-\Delta x)\right].}$

Levý Riemannův součet přeceňuje skutečnou hodnotu, jestliže f je monotonně klesající na tomto intervalu a podceňuje ji, jestliže funkce je monotonně rostoucí.

Pravý Riemannův součet

Pravý Riemannův součet pro funkci x³ na intervalu ${\displaystyle \langle 0,2\rangle }$ rozděleném na 4 podintervaly

Pokud hodnotu f budeme aproximovat hodnotou v pravém koncovém bodě intervalu, dostáváme obdélníky se základnou Δx a výškami f(a + i Δx). Celková plocha bude

${\displaystyle \Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\,\Delta x)+\cdots +f(b)\right].}$

Pokud je f monotonně klesající, pak pravý Riemannův součet skutečnou hodnotu podceňuje; pokud je monotonně rostoucí, pak ji přeceňuje. Chyba součtu bude

${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-A_{\mathrm {right} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}}}$,

kde ${\displaystyle M_{1}}$ je maximální hodnota absolutní hodnoty ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ (derivace f) na daném intervalu.

Středový součet

Středový Riemannův součet pro funkci x³ na intervalu ${\displaystyle \langle 0,2\rangle }$ rozděleném na 4 podintervaly

Approximace f ve středu intervalů dává pro první interval f(a + Δx/2), pro další f(a + 3Δx/2), atd., až po f(b − Δx/2). Sečtení oblastí dává

${\displaystyle \Delta x\left[f(a+{\tfrac {\Delta x}{2}})+f(a+{\tfrac {3\,\Delta x}{2}})+\cdots +f(b-{\tfrac {\Delta x}{2}})\right]}$.

Chyba tohoto vzorce bude

${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-A_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}}}$,

kde ${\displaystyle M_{2}}$ je maximální hodnota absolutní hodnoty ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$ (druhé derivace f) na daném intervalu.

Lichoběžníková metoda

Lichoběžníkový Riemannův součet pro funkci x³ na intervalu ${\displaystyle \langle 0,2\rangle }$ rozděleném na 4 podintervaly

Podrobnější informace naleznete v článku Lichoběžníková metoda.

V tomto případě jsou hodnoty funkce f na intervalu aproximovány průměrem hodnot v levém a pravém koncovém bodě. Pro výpočet použijeme vzorec pro výpočet plochy lichoběžníka s rovnoběžnými stranami b₁, b₂ a výškou h:

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})}$

Celková plocha bude

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\Delta x\left[f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\,\Delta x)+2f(a+3\,\Delta x)+\cdots +f(b)\right].}$

což je mimochodem průměr levých a pravých součtů této funkce.

Chyba tohoto vzorce je

${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-A_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}$

kde ${\displaystyle M_{2}}$ je maximální hodnota absolutní hodnoty ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$.

Pokud se zabýváme jednorozměrnými Riemannovými součty na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, zjistíme, že pro některé funkce se při zmenšování maximální velikosti dělení k nule (tj. když se limita normy dělení blíží k nule) budou všechny Riemannovy součty konvergovat ke stejné hodnotě. Tuto limitní hodnotu, pokud existuje, nazveme určitým Riemannovým integrálem příslušné funkce na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, tj.

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=\lim _{\|\Delta x\|\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}.}$

Pokud se maximální velikost dělení zmenšuje k nule, počet podintervalů roste k nekonečnu. Pro každé konečné dělení je Riemannův součet vždy aproximací limitní hodnoty, a tato aproximace se zlepšuje při zjemňování dělení. Následující animace ukazuje, jak zjemňování dělení (při zmenšování velikosti maximálního prvku dělení) lépe aproximuje „plochu“ pod křivkou:

• 
  Levý součet
• 
  Pravý součet
• 
  Středový součet

Protože se předpokládá, že červená funkce je hladká funkce, všechny tři Riemannovy součty budou konvergovat ke stejné hodnotě, když se počet podintervalů blíží k nekonečnu.

Porovnání pravých součtů funkce y = x² od 0 do 2 s jejím integrálem od 0 do 2.

Vizuální reprezentace plochy pod křivkou y = x² v intervalu ${\displaystyle \langle 0,2\rangle }$. Při výpočtu pomocí primitivní funkce vyjde tato plocha přesně 8/3.

Approximace plochy pod ${\displaystyle y=x^{2}}$ v intervalu ${\displaystyle \langle 0,2\rangle }$ pomocí pravých součtů. Všimněte si, že protože funkce je monotonně rostoucí, pravé součty budou vždy přeceňovat plochu, která přispívá ke každému členu součtu (a činí tak maximálně).

Hodnota Riemannova součtu pod křivkou y = x² od 0 do 2. Při zvyšování počtu obdélníků se plocha blíží k přesné hodnotě 8/3.

Plochu pod křivkou y = x² mezi 0 a 2 můžeme v našem příkladě procedurálně vypočítat Riemannovou metodou.

Interval ${\displaystyle \langle 0,2\rangle }$ nejprve rozdělíme na n podintervalů, každý o šířce ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$; což jsou šířky Riemannových obdélníků (zde „boxů“). Protože chceme vypočítat pravý Riemannův součet, posloupnost x-ových souřadnic boxů bude ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$, a tedy posloupnost výšek boxů bude ${\displaystyle x_{1}^{2},x_{2}^{2},\ldots ,x_{n}^{2}}$. Při tom platí, že ${\displaystyle x_{i}={\tfrac {2i}{n}}}$ a ${\displaystyle x_{n}=2}$.

Obsah každého okna bude ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}\times x_{i}^{2}}$ a proto n-tý pravý Riemannův součet bude

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {2}{n}}\times \left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {2}{n}}\times \left({\frac {2i}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {2}{n}}\times \left({\frac {2n}{n}}\right)^{2}\\&={\frac {8}{n^{3}}}\left(1+\cdots +i^{2}+\cdots +n^{2}\right)\\&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)\\&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right)\\&={\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\end{aligned}}}$

Když uvažujeme limitní případ n → ∞, můžeme dojít k závěru, že se zvětšujícím se počtem boxů se aproximace přibližují skutečné velikosti plochy pod křivkou. Tudíž:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right)={\frac {8}{3}}}$

Tato metoda souhlasí s určitým integrálem spočítaným mechaničtějším způsobem:

${\displaystyle \int _{0}^{2}x^{2}\,dx={\frac {8}{3}}}$

Protože funkce je na intervalu spojitá a monotonně rostoucí, pravý Riemannův součet přeceňuje integrál o největší hodnotu (zatímco levý Riemannův součet podceňuje integrál o největší hodnotu). Tento fakt, který je intuitivně jasný z diagramů, ukazuje jak povaha funkce určuje, jak přesně integrál je odhadnutý. I když jsou jednoduché, pravý a levý Riemannův součet jsou často méně přesné než pokročilejší techniky odhadu integrálu jako je např. lichoběžníková metoda nebo Simpsonova metoda.

K funkci z tohoto příkladu je snadné nalézt primitivní funkci, takže odhadování integrálu Riemannovými součty je spíše akademické cvičení; ne ke všem funkcím je však možné najít primitivní funkci, takže odhadování jejich integrálů sumací je důležité i prakticky.

Základní myšlenkou za Riemannovým součtem je „rozdělit“ interval na části, znásobit „velikost“ každé části určitou reprezentací hodnoty, kterou funkce nabývá na této části a všechny tyto součiny sečíst. To lze zobecnit tím, že povolíme Riemannovy součty pro funkce na více než jednorozměrném oboru.

Intuitivně je snadné porozumět procesu dělení intervalu, ale technické detaily, jak integrační obor rozdělit, jsou mnohem složitější než v jednorozměrném případě a týkají se aspektů geometrického tvaru integračního oboru[4].