Lichoběžníková metoda

Je-li dělení intervalu nerovnoměrné, můžeme použít vzorec

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}}$

Je-li integrační interval rozdělený na ${\displaystyle N}$ stejně velkých podintervalů, je možné vzorec pro výpočet zjednodušit. Pokud

${\displaystyle \Delta x_{k}=\Delta x={\frac {b-a}{N}},}$

dostaneme vzorec

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(f(x_{k-1})+f(x_{k})\right)}$

${\displaystyle {}={\frac {\Delta x}{2}}(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N-1})+f(x_{N}))}$

${\displaystyle {}={\frac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+f(x_{N})+2\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})\right)}$

${\displaystyle {}=\Delta x\left(\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})+{\frac {f(x_{N})+f(x_{0})}{2}}\right).}$

Předpokládejme, že ${\displaystyle h={\frac {b-a}{N}}}$ a ${\displaystyle a_{k}=a+(k-1)h}$.

Nechť ${\displaystyle g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)dx}$ je funkce taková, že ${\displaystyle |g_{k}(h)|}$ je chyba lichoběžníkové metody na jednom z intervalů, ${\displaystyle \langle a_{k},a_{k}+h\rangle }$. Pak

${\displaystyle {dg_{k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),}$

a

${\displaystyle {d^{2}g_{k} \over dt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f''(a_{k}+t).}$

Nyní předpokládejme, že ${\displaystyle \left\vert f''(x)\right\vert \leq f''(\xi ),}$ což platí, pokud je ${\displaystyle f}$ dostatečně hladká. Odtud dostáváme

${\displaystyle \left\vert f''(a_{k}+t)\right\vert \leq f''(\xi )}$

což je ekvivalentní s ${\displaystyle -f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\leq f''(\xi )}$ nebo ${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2}}.}$

Protože ${\displaystyle g_{k}'(0)=0}$ a ${\displaystyle g_{k}(0)=0}$,

${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}''(x)dx=g_{k}'(t)}$ a ${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).}$

Při použití těchto výsledků dostáváme

${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}\leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}}$

a

${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}\leq g_{k}(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}}$

Pokud položíme ${\displaystyle t=h}$, dostaneme

${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}.}$

Sečtením všech částečných chyb dostáváme

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.}$

přičemž platí

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)\leq \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}}$

a

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}},}$

takže

${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.}$

Celková chyba je tedy omezena výrazem

${\displaystyle {\text{chyba}}=\int _{a}^{b}f(x)dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.}$

Pro periodické funkce lichoběžníková metoda konverguje velmi rychle. Je to jednoduchý důsledek Eulerova–Maclaurinova sumačního vzorce, který říká, že pokud funkce ${\displaystyle f}$ je ${\displaystyle p}$-krát spojitě derivovatelná s periodou ${\displaystyle T}$, pak

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int _{0}^{T}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0))-(-1)^{p}h^{p}\int _{0}^{T}{\tilde {B}}_{p}(x/T)f^{(p)}(x)\,\mathrm {d} x,}$

kde ${\displaystyle h:=T/N}$ a ${\displaystyle {\tilde {B}}_{p}}$ je periodické rozšíření ${\displaystyle p}$-tého Bernoulliho polynomu.[8] U periodických funkcí se derivace v koncových bodech vyruší a jak je patrné ze vzorce, chyba je řádu ${\displaystyle O(h^{p})}$.

Podobný efekt jako u periodických funkcí se projevuje u funkcí s jedním vrcholem, jako je například Gaussova funkce, exponenciálně modifikovaná Gaussova funkce nebo další funkce, které mají v integračních mezích derivace, které lze zanedbat.[9] Pro výpočet integrálu gaussovské funkce lichoběžníkovou metodou s 1% přesností stačí použít pouze čtyři body.[10] Simpsonovo pravidlo vyžaduje pro dosažení stejné přesnosti 1,8krát více bodů.[10][11]

Přes určité úsilí rozšířit Eulerův–Maclaurinův sumační vzorec na více dimenzí,[12] k přímočařejšímu důkazu velmi rychlé konvergence lichoběžníkové metody v prostorech s mnoha rozměry stačí omezit problém na konvergenci Fourierovy řady. Tímto způsobem lze ukázat, že pokud je ${\displaystyle f}$ periodická na ${\displaystyle n}$-rozměrném prostoru s ${\displaystyle p}$ spojitými derivacemi, bude rychlost konvergence ${\displaystyle O(h^{p/d})}$. Při velmi vysokém počtu dimenzí je integrace Monte-Carlo pravděpodobně lepší volbou, ale pro dvou nebo trojrozměrný případ je efektivní rovnoměrné vzorkování. Toho se využívá při výpočtech ve fyzice pevné fáze, kde rovnoměrné vzorkování přes primitivní buňky v převrácená mřížce je známé jako Monkhorstova-Packova integrace.[13]

U funkcí, které nemají spojitou druhou derivaci, nelze použít výše uvedený odhad chyby. Pro málo hladké funkce je však možné odvodit jiná omezení chyby, která však typicky svědčí, že při zvyšování počtu bodů ${\displaystyle N}$, v nichž se počítá hodnota integrované funkce je konvergence pomalejší než výše uvedené ${\displaystyle O(N^{-2})}$. Je zajímavé, že v tomto případě má lichoběžníková metoda často ostřejší meze při stejném počtu vyhodnocování funkce než Simpsonovo pravidlo.[14]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Trapezoidal rule na anglické Wikipedii.

Je zde použita šablona {{Refend}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.

• Gaussovo kvadraturní pravidlo
• Newtonovy–Cotesovy vzorce
• Riemannův součet
• Rombergova metoda
• Simpsonovo pravidlo
• Volterrova integrální rovnice#Numerické řešení pomocí lichoběžníkové metody

• Obrázky, zvuky či videa k tématu lichoběžníková metoda na Wikimedia Commons

Kniha en:A-level Mathematics/OCR/C2/Integration#Trapezium_Rule ve Wikiknihách

• Trapezium formula. I.P. Mysovskikh – Lichoběžníková metoda v Encyclopedia of Mathematics, ed. M. Hazewinkel
• Notes on the convergence of trapezoidal-rule quadrature – poznámky ke konvergenci výpočtů integrálů lichoběžníkovou metodou
• An implementation of trapezoidal quadrature provided by Boost.Math – implementace kvadratury lichoběžníkovou metod z Boost.Math