Limita posloupnosti

Posloupnost ${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo ${\displaystyle \varepsilon }$ platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než ${\displaystyle \varepsilon }$.

Zapsáno symbolicky:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists n\in \mathbb {N}$ :\forall k\geq n:\left|a_{k}-A\right|<\varepsilon }

Platí, že každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

Budeme dokazovat sporem. Předpokládejme tedy, že nějaká posloupnost ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ má dvě limity: ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$, přičemž ${\displaystyle A\neq B}$.

Platí:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists n_{1}\in \mathbb {N}$ :\forall n\geq n_{1}:\left|a_{n}-A\right|<\varepsilon }

a

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists n_{2}\in \mathbb {N}$ :\forall n\geq n_{2}:\left|a_{n}-B\right|<\varepsilon }

Označme ${\displaystyle n_{0}}$ větší z čísel ${\displaystyle n_{1}}$, ${\displaystyle n_{2}}$. Pak pro všechna epsilon, tedy i pro ${\displaystyle \epsilon ={|A-B|/2}}$ a pro nějaké ${\displaystyle k>n_{0}}$ platí:

${\displaystyle |A-a_{k}|<{|A-B|/2}}$ a ${\displaystyle |B-a_{k}|<{|A-B|/2}}$

Tedy vzdálenost ${\displaystyle a_{k}}$ od bodu ${\displaystyle A}$ i od bodu ${\displaystyle B}$ je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.

Pokud k libovolnému číslu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje přirozené číslo ${\displaystyle n_{0}}$ takové, že pro všechna ${\displaystyle n>n_{0}}$ platí ${\displaystyle |a_{n}-A|<\varepsilon }$, pak říkáme, že posloupnost ${\displaystyle (a_{n})}$ má (vlastní, konečnou) limitu ${\displaystyle A}$, popř. že posloupnost konverguje k číslu ${\displaystyle A}$. Konvergenci posloupnosti k ${\displaystyle A}$ zapisujeme

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$

Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako konvergentní. V opačném případě hovoříme o divergentní posloupnosti.

K ověření konvergence lze použít tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku, která říká, že existuje-li ke každému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ takové přirozené číslo ${\displaystyle n_{0}}$, že pro libovolnou dvojici indexů ${\displaystyle m>n_{0},n>n_{0}}$ platí ${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon }$, pak je posloupnost ${\displaystyle (a_{n})}$ konvergentní. V úplných metrických prostorech se jedná o nutnou a postačující podmínku konvergence posloupnosti. Posloupnost splňující BC podmínku se také nazývá Cauchyovská posloupnost.

Říkáme, že posloupnost je

• konvergentní, pokud má vlastní limitu
• divergentní, pokud má nevlastní limitu ${\displaystyle +\infty }$, ${\displaystyle -\infty }$, je oscilující nebo nemá limitu
• oscilující, pokud nemá vlastní ani nevlastní limitu.

O funkční posloupnosti ${\displaystyle (f_{n}(x))}$ říkáme, že (bodově) konverguje k limitní funkci ${\displaystyle f(x)}$, pokud pro každé ${\displaystyle x_{0}\in \mathbf {I} }$ existuje vlastní limita ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})=f(x_{0})}$. Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost ${\displaystyle (f_{n}(x))}$ označíme jako divergentní.

Pokud lze pro libovolné ${\displaystyle \varepsilon >0}$ najít takové ${\displaystyle n_{0}}$, které je stejné pro všechny body ${\displaystyle x\in \mathbf {I} }$, a pro všechna ${\displaystyle n>n_{0}}$ a všechny body ${\displaystyle x\in \mathbf {I} }$ platí

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon }$

pak posloupnost ${\displaystyle (f_{n}(x))}$ označíme jako stejnoměrně konvergentní.

Posloupnost je na daném intervalu stejnoměrně konvergentní, konverguje-li v každém bodě ${\displaystyle x}$ přibližně stejně rychle.

Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost ${\displaystyle (f_{n}(x))}$ na intervalu ${\displaystyle \mathbf {I} }$ stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ najít takové přirozené číslo ${\displaystyle n_{0}}$, že pro každou dvojici ${\displaystyle n>n_{0},m>n_{0}}$ a každé ${\displaystyle x\in \mathbf {I} }$ platí

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<\varepsilon }$

Pokud jsou funkce ${\displaystyle f_{n}(x)}$ na intervalu ${\displaystyle \mathbf {I} }$ spojité a posloupnost ${\displaystyle (f_{n}(x))}$ je na ${\displaystyle \mathbf {I} }$ stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu ${\displaystyle \mathbf {I} }$ spojitá také limitní funkce ${\displaystyle f(x)}$.

Mějme dvě konvergentní posloupnosti ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})}$, pro které platí ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a,\lim _{n\to \infty }b_{n}=b}$. Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ka_{n}=ka}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|=\left|a\right|}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=ab}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}\;{\mbox{ pro }}b\neq 0}$

Z posloupnosti ${\displaystyle (b_{n})}$ jsou vynechány všechny nulové členy, kterých je konečný počet, neboť ${\displaystyle b\neq 0}$.

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})}$, pro které platí ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a,\lim _{n\to \infty }b_{n}=b}$, pak jestliže pro každé ${\displaystyle n}$ je ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$, pak je také ${\displaystyle a\leq b}$.

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})}$, pro které platí ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a,\lim _{n\to \infty }b_{n}=a}$, pak jestliže existuje posloupnost ${\displaystyle (c_{n})}$ taková, že pro každé ${\displaystyle n}$ je ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$, pak platí také ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=a}$.

Je-li ${\displaystyle (a_{k_{n}})}$ podposloupnost posloupnosti ${\displaystyle (a_{n})}$ a platí ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$, pak platí také ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{k_{n}}=a}$.

Platí Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li ${\displaystyle {\mathit {(}}a_{n})}$ omezená posloupnost v ${\displaystyle \mathbb {R} }$, pak z ní lze vybrat posloupnost ${\displaystyle {\mathit {(}}a_{k_{n}})}$, která je konvergentní.

Tato věta je založena na axiomu výběru. Proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

Podle Bolzano-Weierstrassovy věty má každá ohraničená posloupnost alespoň jeden hromadný bod. Pokud je těchto hromadných bodů více (i nekonečně mnoho), vždy existuje jeden nejmenší a jeden největší (tzv. limes superior a limes inferior dané posloupnosti), což zapisujeme

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup a_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\inf a_{n}}$

Posloupnost ${\displaystyle (a_{n})}$ je konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }\sup a_{n}=\lim _{n\to \infty }\inf a_{n}=a}$

Konvergentní posloupnost má tedy právě jeden hromadný bod.

• Limita funkce
• L'Hospitalovo pravidlo
• Konvergence (matematika)
• Divergence (matematika)

• Obrázky, zvuky či videa k tématu limita posloupnosti na Wikimedia Commons