Pravděpodobnost

Nechť náhodný pokus splňuje předpoklady:

1. Všech možných výsledků je konečný počet.
2. Všechny výsledky jsou stejně možné.
3. Všechny výsledky se vzájemně vylučují.

Pravděpodobností jevu A pak nazveme číslo ${\displaystyle P(A)={\frac {m}{n}}}$, kde ${\displaystyle n}$ je počet všech výsledků náhodného pokusu a ${\displaystyle m}$ je počet výsledků příznivých jevu A; ${\displaystyle n=|\Omega |}$, ${\displaystyle m=|A|}$.

Diskuse: Je zapotřebí zdůraznit, že Laplace uvedenou definici předložil jen jako jednoduchý a názorný zvláštní případ pro výpočet hodnoty pravděpodobnosti. Mnoho Laplaceových následovníků chybně usuzovalo, že Laplace chápal pravděpodobnost jen pro uvedené zjednodušení. To je však hrubý omyl. Naopak, Laplace předkládá ve svém díle i nástroje pro mnohem obecnější situaci. Například takové, které vyžadují úplnou formu součinového pravidla (de facto Bayesův teorém) a nevyžadují tudíž předpoklad, že všechny výsledky jsou apriori stejně možné. Anebo pro situace, které neumožňují mnohonásobné opakování experimentu ve statisticky stabilních podmínkách. Viz např. Laplaceův problém stanovení pravděpodobné hmotnosti Saturnu. Laplaceovo pojetí pravděpodobnosti je bayesovské – jako zobecnění logiky pro úlohy s neúplnou informací.

Pravděpodobnost je míra očekávání toho, že nastane nějaký jev, měřená na škále od nuly (jistota, že jev nenastane) do jedné (jistota, že jev nastane) tak, aby číselná vyjádření pravděpodobnosti vyhovovala zákonům logiky a obvyklým rovnostem teorie pravděpodobnosti. Existují v zásadě dvě možné bayesovské interpretace pravděpodobnosti:

• objektivistická, podle níž je pravděpodobnost racionální očekávání založené na stavu vědomostí a jde o rozšíření klasické dvouhodnotové logiky na situaci, kdy se pracuje i s nejistotou (Richard Threlkeld Cox, E. T. Jaynes a další);
• subjektivistická, podle níž je pravděpodobnost kvantifikací subjektivní víry, jež má podléhat pravidlům racionality a koherence (Bruno de Finetti, Abraham Wald a další).

Diskuse: I když své jméno nese podle Thomase Bayese, byl zakladatelem tohoto proudu pravděpodobnostního myšlení až Pierre-Simon Laplace. V první polovině dvacátého století bylo toto chápání pravděpodobnosti zatlačeno do pozadí jako příliš subjektivní, ale zájem o ně opět postupně narůstal, když se ukázalo jako výhodné v řadě situací, kdy je opačné (frekventistické) pojetí méně praktické nebo ho nelze přímočaře aplikovat.

Opakujme náhodný pokus ${\displaystyle N}$-krát, přičemž předpokládejme, že výskyt náhodného jevu ${\displaystyle A}$ pozorujeme v ${\displaystyle K}$ případech. Číslo ${\displaystyle K}$ se nazývá četností jevu ${\displaystyle A}$. Poměr ${\displaystyle {\frac {K}{N}}}$ se pak označuje jako poměrná či relativní četnost jevu ${\displaystyle A}$. Jestliže se s rostoucím ${\displaystyle N}$, tedy se zvyšováním počtu opakování pokusu, relativní četnost ${\displaystyle {\frac {K}{N}}}$ blíží nějakému číslu, pak toto číslo můžeme považovat za pravděpodobnost daného jevu.

Diskuse: Statistickou definici pravděpodobnosti označujeme též jako frekvencionistickou. Při velkém počtu pokusů se za jistých předpokladů bude relativní četnost blížit pravděpodobnosti daného jevu. Musí však platit, že statistický experiment probíhá ve statisticky ustálených podmínkách. Dále je zřejmé, že statistickou definici nelze dobře použít, pokud jev není opakovatelný. Klasickou i statistickou definicí tak získáme stejnou hodnotu pravděpodobnosti jen za poměrně silných (i když v praxi dosti častých) předpokladů.

Dalším příkladem definice pravděpodobnosti může být tzv. geometrická definice. Zde je definice pravděpodobnosti založena na porovnání objemů, ploch či délek geometrických útvarů. Uvažujme např. dvojrozměrnou situaci. Podle geometrické definice je pak pravděpodobnost jevu ${\displaystyle A}$ určena jako ${\displaystyle P(A)={\frac {\omega }{S}}}$, kde ${\displaystyle S}$ je obsah plochy (představující např. všechny možné výsledky náhodného pokusu) a ${\displaystyle \omega }$ je celkový obsah plochy (která např. představuje výsledky, při nichž dojde k výskytu jevu ${\displaystyle A}$).

Diskuse: Také geometrická definice v uvedené formě vychází z předpokladu, že všechny výsledky náhodného pokusu jsou stejně pravděpodobné (obecněji – že všechny elementy uvažovaného geometrického objektu mají „stejnou váhu“). S pomocí součinového pravidla (Bayesova teorému) ji lze snadno zobecnit i na situace s libovolným apriorním rozdělením pravděpodobností (různou váhou elementů geometrického objektu). Geometrickou definici pravděpodobnosti tedy není nutné svazovat s nějakými opakovanými náhodnými pokusy. Geometrická definice v uvedené zjednodušené podobě je přirozeným východiskem pro definici pravděpodobnosti jako určité normované míry, popsané axiomaticky jazykem teorie množin (Kolmogorovova definice).

Přiřazení pravděpodobnosti náhodnému jevu popisuje Kolmogorovova axiomatická definice pravděpodobnosti z roku 1933. Je-li ${\displaystyle \Omega }$ neprázdná množina a ${\displaystyle S}$ je σ algebra náhodných jevů definovaných na ${\displaystyle \Omega }$, pak pravděpodobností se nazývá reálná funkce ${\displaystyle P(A)}$ definovaná na ${\displaystyle S}$, která pro ${\displaystyle A\in S}$ a ${\displaystyle A_{1},A_{2},...\in S,A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,i\neq j}$ splňuje

1. ${\displaystyle P(A)\geq 0}$, tzn. pravděpodobnost každého jevu je nezáporná
2. ${\displaystyle P(\Omega )=1}$, tzn. pravděpodobnost jistého jevu je rovna 1.
3. ${\displaystyle P\left(\cup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})}$, tzn. pravděpodobnost sjednocení vzájemně se vylučujících jevů (tj. průnik každých dvou z nich je nemožný jev) je rovna součtu jejich pravděpodobností.

Z uvedených axiomů vyplývá následující:

• Pravděpodobnost je číslo v intervalu ${\displaystyle \langle 0,1\rangle }$, tzn. ${\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1}$.
• Nemožný jev má nulovou pravděpodobnost, tedy ${\displaystyle P(\emptyset )=0}$.
• Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem se vylučujících jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností, tzn. ${\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})}$. Tento důsledek lze zobecnit na sjednocení libovolného konečného počtu jevů, tzn. ${\displaystyle P\left(\cup _{i=1}^{k}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{k}P(A_{i})}$.
• Pravděpodobnost opačného jevu je doplněk pravděpodobnosti výchozího jevu do jedné, tzn. ${\displaystyle P({\overline {A}})=1-P(A)}$.
• Je-li ${\displaystyle A}$ částí jevu ${\displaystyle B}$, pak pravděpodobnost jevu ${\displaystyle A}$ je menší nebo rovna pravděpodobnosti ${\displaystyle B}$, tzn. ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$.
• Je-li ${\displaystyle A}$ částí jevu ${\displaystyle B}$, pak pravděpodobnost rozdílu jevů ${\displaystyle B-A}$ je rovna rozdílu pravděpodobností obou jevů, tzn. ${\displaystyle P(B-A)=P(B)-P(A)}$.

Kolmogorova definice je dostatečně obecná, neboť funkce ${\displaystyle P}$ může představovat míru na dané σ-algebře. Předchozí definice pak představují pouze speciální případy axiomatické definice. V praxi se však při výpočtu pravděpodobnosti často využívají.

• ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$
• ${\displaystyle P\left(\cup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})-\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}P(A_{i}\cap A_{j})+\sum _{i=1}^{n-2}\sum _{j=i+1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{n}P(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})+\cdots +{(-1)}^{n-1}P\left(\cap _{i=1}^{n}A_{i}\right)}$
• Pro posloupnost jevů ${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots }$ platí ${\displaystyle P\left(\cup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }P(A_{i})}$
• Pro posloupnost jevů ${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots }$ platí ${\displaystyle P\left(\cap _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }P(A_{i})}$

Řekneme, že jevy ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ jsou nezávislé, pokud pravděpodobnost jevu ${\displaystyle A}$ nezávisí na výskytu jevu ${\displaystyle B}$, tj. ${\displaystyle P(A|B)=P(A)}$; definice s prohozenými jevy ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ je ekvivalentní. Podle vztahu pro podmíněnou pravděpodobnost tedy platí

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}$.

Uvedené tvrzení lze obrátit, tzn. jestliže platí ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}$, pak jsou jevy ${\displaystyle A,B}$ nezávislé.

Podobně řekneme o jevech ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$, že jsou (navzájem) nezávislé právě tehdy, když pro každou podmnožinu ${\displaystyle Q\subseteq \{A_{1},A_{2},...,A_{n}\}}$ platí

${\displaystyle P\left(\cap _{A\in Q}A\right)=\prod _{A\in Q}P(A).}$

Všimněme si, že uvedená rovnost musí platit nejen pro průnik všech zmíněných jevů, ale také každé jejich podskupiny. Taková nezávislost bývá označována jako skupinová nezávislost jevů. Každý jev je totiž nezávislý nejen na ostatních jevech, ale je také nezávislý na (libovolných) průnicích ostatních jevů. Nezávislost jevů po dvou je typ nezávislosti, kdy každý jev je nezávislý na ostatních jevech, nemusí však být nezávislý na průnicích jiných jevů.

Mějme čtyři krabice, přičemž každá krabice má víko a uvnitř je koule. První krabice je bílá, uvnitř je bílá koule a víko krabice je také bílé. Druhá krabice je bílá, uvnitř je černá koule a víko je také černé. Třetí krabice je černá, uvnitř je černá koule a víko je bílé. Poslední krabice je černá, uvnitř je bílá koule a víko je černé.

Za náhodný jev ${\displaystyle A}$ budeme považovat, že náhodně vybraná krabice je černá, za jev ${\displaystyle B}$ vezmeme, že náhodně vybraná krabice obsahuje černou kouli, a jevem ${\displaystyle C}$ bude, že náhodně vybraná krabice má černé víko.

Z předchozího lze zjistit

${\displaystyle P(A)=P(B)=P(C)={\frac {1}{2}}}$

Pro současný výskyt dvojic jevů platí

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)={\frac {1}{4}}}$

Vzhledem k tomu, že neexistuje žádná černá krabice s černou koulí a černým víkem, bude

${\displaystyle P(A\cap B\cap C)=0}$

Je tedy vidět, že náhodné jevy ${\displaystyle A,B,C}$ jsou po dvou nezávislé, avšak nejsou (navzájem) nezávislé.

Jestliže jevy ${\displaystyle B_{1},B_{2},...,B_{n}}$ tvoří úplný systém jevů, pak pravděpodobnost libovolného jevu ${\displaystyle A}$ lze určit pomocí tzv. vzorce úplné pravděpodobnosti

${\displaystyle P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})P(A|B_{i})}$

Mějme úplný systém jevů ${\displaystyle B_{1},B_{2},...,B_{n}}$. Jestliže je výsledkem náhodného pokusu jev ${\displaystyle A}$, pak k určení podmíněné pravděpodobnosti jevu ${\displaystyle B_{k}}$ vzhledem k jevu ${\displaystyle A}$ použijeme Bayesův vzorec, který zapisujeme

${\displaystyle P(B_{k}|A)={\frac {P(B_{k})P(A|B_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})P(A|B_{i})}}={\frac {P(B_{k})P(A|B_{k})}{P(A)}}}$

pro ${\displaystyle k=1,2,...,n}$.

• MAREK, Luboš. Pravděpodobnost. Praha: Professional Publishing, 2012. 250 s. ISBN 978-80-7431-087-4.

• Náhodný pokus
• Náhodný jev
• Náhodná veličina
• Prostor s mírou
• Teorie pravděpodobnosti

• Obrázky, zvuky či videa k tématu pravděpodobnost na Wikimedia Commons