Prvočíslo

Číslo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ je prvočíslem právě když platí: ${\displaystyle n>1\land \forall k\in \mathbb {N}$ :\left(k|n\implies (k=1\lor k=n)\right)} nebo ekvivalentně ${\displaystyle \left|\{k:k\in \mathbb {N} ,k|n\}\right|=2}$.

Číslo 13 má při dělení dvěma zbytek 1, při dělení třemi zbytek 1, při dělení pěti zbytek 3 atd. Říkáme, že je těmito čísly nedělitelné. Pouze při dělení 1 a 13 je zbytek 0 (dělitelné). Proto je 13 prvočíslo.

Číslo 24 je dělitelné čísly 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Není proto prvočíslem, ale složeným číslem.

Jak říká základní věta aritmetiky, každé přirozené číslo je možno rozložit na právě jeden prvočíselný součin (např. 12 = 2×2×3). Pokud by byla jednička zahrnuta do množiny prvočísel, bylo by takových rozkladů vždy nekonečně mnoho (12 = 2×2×3 = 1×2×2×3 = 1×1×2×2×3 = …). Proto se jednička za prvočíslo nepovažuje, přestože podmínku dělitelnosti pouze sebou samým a jedničkou splňuje. V rámci obecnějších teorií jsou prvočísla takzvanými prvočiniteli, zatímco jednička patří mezi takzvané jednotky.

• Pokud je ${\displaystyle p}$ prvočíslo a ${\displaystyle p}$ dělí součin čísel ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$, pak ${\displaystyle p}$ dělí ${\displaystyle a}$ nebo ${\displaystyle p}$ dělí ${\displaystyle b}$.
• Každé složené číslo lze jednoznačně vyjádřit jako součin prvočísel. Proces rozkladu čísla na jeho prvočíselné činitele (prvočinitele) se nazývá faktorizace. Např. ${\displaystyle 24=2^{3}\cdot 3}$.
• Okruh ${\displaystyle \mathbb {Z} /n{\mathbb {Z} }}$ (viz množina zbytkových tříd) je těleso, právě když ${\displaystyle n}$ je prvočíslo. Jinak vyjádřeno: ${\displaystyle n}$ je prvočíslo, právě když ${\displaystyle \varphi (n)=n-1}$, kde ${\displaystyle \varphi (n)}$ je počet invertovatelných prvků v ${\displaystyle \mathbb {Z} /n{\mathbb {Z} }}$.
• Pokud ${\displaystyle p}$ je prvočíslo a ${\displaystyle 0<a<p}$ je celé číslo, pak ${\displaystyle a^{p}-a}$ je dělitelné ${\displaystyle p}$. (Malá Fermatova věta)
• Pokud ${\displaystyle n}$ je kladné celé číslo větší než jedna, existuje prvočíslo ${\displaystyle p}$ tak, že ${\displaystyle n<p<2n}$. (Bertrandův postulát)
• Číslo ${\displaystyle p}$ větší než jedna je prvočíslo, právě když ${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}$. (Wilsonova věta)
• Pokud ${\displaystyle G}$ je konečná grupa a ${\displaystyle p^{n}}$ je nejvyšší mocnina prvočísla ${\displaystyle p}$, která dělí řád grupy ${\displaystyle G}$, má grupa ${\displaystyle G}$ podgrupu řádu ${\displaystyle p^{n}}$.
• Pokud ${\displaystyle p}$ je prvočíslo a ${\displaystyle G}$ je grupa s ${\displaystyle p^{n}}$ prvky, obsahuje ${\displaystyle G}$ prvek řádu ${\displaystyle p}$.
• Prvočísel je nekonečně mnoho. (Viz níže.)
• Suma převrácených hodnot prvočísel diverguje.
• Hustota prvočísel je asymptoticky ${\displaystyle 1/\ln(n)}$, kde ${\displaystyle \ln(n)}$ je přirozený logaritmus n. Přesněji, ${\displaystyle \pi (n)\simeq n/\ln(n)}$, kde prvočíselná funkce ${\displaystyle \pi (n)}$ vyjadřuje počet prvočísel menších než ${\displaystyle n}$.
• Největší dnes (prosinec 2018) známé prvočíslo je 2^82 589 933 − 1, má 24 862 048 dekadických cifer.[1] Je to 51. známé Mersennovo prvočíslo, označované jako M_82589933. Bylo nalezeno 7. prosince 2018.

Zkoumáním vlastností prvočísel se zabývá teorie čísel. Zobecněním prvočísel jsou v abstraktní algebře prvočinitelé.

Prvočísel je nekonečně mnoho. (Důkaz sporem: Nechť existuje jen konečně mnoho prvočísel. Označme je ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$. Potom číslo ${\displaystyle x=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}+1}$ není dělitelné žádným z těchto prvočísel, jelikož při dělení dostaneme vždy zbytek 1. Tím pádem číslo ${\displaystyle x}$ musí být buď prvočíslo, nebo musí být dělitelné nějakým jiným prvočíslem. To ale znamená, že množina prvočísel z počátku důkazu nebyla úplná, což je spor s předpokladem. Tento důkaz předvedl Eukleidés.)

Podle Bertrandova postulátu lze nalézt vždy alespoň jedno prvočíslo mezi čísly ${\displaystyle n}$ a ${\displaystyle 2n}$ pro ${\displaystyle n>1}$. Ve skutečnosti jich však existuje pro vyšší ${\displaystyle n}$ daleko více. (I z této věty lze dovodit, že prvočísel je nekonečně mnoho.)

Naproti tomu lze nalézt libovolně dlouhé intervaly přirozených čísel, kde se nevyskytuje žádné prvočíslo. Například interval ${\displaystyle (k+1)!+2,(k+1)!+3,\ldots ,(k+1)!+k+1}$ obsahuje ${\displaystyle k}$ složených čísel. Tato čísla jsou totiž po řadě dělitelná dvěma, třemi, …, ${\displaystyle k+1}$.

Mnoho hypotéz o rozložení prvočísel je dodnes nevyřešených. Jeden otevřený problém je tzv. Riemannova hypotéza, která souvisí s pravidelností rozložení prvočísel a za jejíž důkaz je vypsána odměna milion dolarů.

Velký praktický význam mají prvočísla v kryptografii, například v šifrovacích systémech jako je RSA.

Pro vytvoření seznamu prvočísel existují různé algoritmy, např. Eratosthenovo síto.

Otestovat, zda je číslo prvočíslem, tedy testovat prvočíselnost je možné asymptoticky v polynomiálním čase algoritmem AKS, nalezeným roku 2002. Asymptoticky rekordní rychlost ovšem neznamená, že se jedná o algoritmus prakticky nejvýhodnější. V praxi bývá častější použití některého z pravděpodobnostních algoritmů, například Millerova-Rabinova algoritmu.

Testování prvočíselnosti pomocí algoritmu využívajícího vlastností eliptických křivek (ECPP) je nejrychlejší známý algoritmus.[3]

bool isPrime(int number) {
    if (number < 2) return false;
    if (number == 2) return true;
    if (number % 2 == 0) return false;

    int max = (int) sqrt(number);

    for (int i = 3; i <= max; i += 2) {
        if (number % i == 0) {
            return false;
        }
    }

    return true;
}

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Největší známé prvočíslo je 2^{82 589 933} − 1. Jedná se o číslo, které má 24 862 048 číslic v desítkové soustavě. Číslo bylo objeveno v rámci projektu GIMPS v prosinci 2018.[4] Jeho přesná podoba je uvedena níže, kde je pro zjednodušení zobrazeno pouze prvních a posledních 120 číslic.

148894445742041325547806458472397916603026273992795324185271289425213239361064475310309971132180337174752834401423587560 ...

(mezitím je 24 861 808 dalších číslic)

... 062107557947958297531595208807192693676521782184472526640076912114355308311969487633766457823695074037951210325217902591