Bertrandův postulát

Prvočíselná věta (PNT) říká, že pokud počet prvočísel menších nebo rovných ${\displaystyle x}$ je přibližně ${\displaystyle {\frac {x}{lnx}}}$, potom dosadíme-li za ${\displaystyle x}$ hodnotu ${\displaystyle 2x}$, pak počet prvočísel menších nebo rovných ${\displaystyle 2x}$ je asymptoticky stejný s dvojnásobkem počtu prvočísel menších nebo rovných ${\displaystyle x}$ (výrazy ${\displaystyle ln(2x)}$ a ${\displaystyle ln(x)}$ jsou asymptoticky ekvivalentní). Proto pro velká ${\displaystyle n}$ je počet prvočísel mezi ${\displaystyle n}$ a ${\displaystyle 2n}$ roven přibližně ${\displaystyle {\frac {n}{ln(n)}}}$, a tedy se v tomto intervalu nachází mnohem více prvočísel, než zaručuje Bertrandův Postulát. Bertrandův postulát je tedy v porovnání s PNT slabší. Ale PNT je hluboká věta, zatímco Bertrandův postulát se lépe pamatuje a snadněji se dokazuje, a také přesně popisuje chování pro malé hodnoty ${\displaystyle n}$. (Navíc Chebyshevův teorém byl dokázán před PNT, takže má historický důvod.)

Podobná a dosud nevyřešená Legendreova domněnka se ptá, jestli pro každé ${\displaystyle n>1}$ existuje prvočíslo ${\displaystyle p}$ takové, že platí ${\displaystyle n^{2}<p<(n+1)^{2}}$. Opět předpokládáme, že mezi ${\displaystyle n^{2}}$ a ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ se bude nacházet mnoho prvočísel, nicméně v tomto případě PNT nepomůže: počet prvočísel menších nebo rovných ${\displaystyle x^{2}}$ je asymptoticky stejný s ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{ln(x^{2})}}}$, zatímco počet prvočísel menších nebo rovných ${\displaystyle (x+1)^{2}}$ je asymptoticky stejný s ${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}}{ln((x+1)^{2})}}}$, což je asymptoticky shodné s odhadem na prvočíslech menších nebo rovných ${\displaystyle x^{2}}$. Takže na rozdíl od předchozího případu pro ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle 2x}$ důkaz Legendreovy domněnky nedostaneme ani pro všechna velká ${\displaystyle n}$. Odhady odchylek na PNT nejsou (a ani nemohou být) dostatečné k prokázání existence alespoň jednoho prvočísla na tomto intervalu.

V roce 1919 použil Ramanujan (1887–1920) k získání jednoduššího důkazu vlastnosti funkce gama. Krátký příspěvek obsahoval zobecnění postulátu, ze kterého později vzniknul koncept ramanujanských prvočísel. Došlo také k dalším zobecněním ramanujanských prvočísel, například existuje důkaz, že

${\displaystyle 2p_{i-n}>p_{i}{\text{ pro }}i>k{\text{ kde }}k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,,}$

pokud ${\displaystyle p_{k}}$ je ${\displaystyle k}$-té prvočíslo a ${\displaystyle R_{n}}$ je ${\displaystyle n}$-té Ramanujanovo prvočíslo.

Ostatní zobecnění Bertrandova postulátu byla získána pomocí elementárních metod. (V následujícím textu ${\displaystyle n}$ náleží do množiny kladných celých čísel.) V roce 2006 M. El Bachraoui dokázal, že mezi ${\displaystyle 2n}$ a ${\displaystyle 3n}$ existuje prvočíslo.[4] V roce 1973, Denis Hanson dokázal, že existuje prvočíslo mezi ${\displaystyle 3n}$ a ${\displaystyle 4n}$. Kromě toho v roce 2011 Andy Loo dokázal, že protože ${\displaystyle n}$ jde do nekonečna, počet prvočísel mezi ${\displaystyle 3n}$ a ${\displaystyle 4n}$ se také blíží nekonečnu, čímž se zobecňují Erdősovy a Ramanujanovy výsledky (viz oddíl Erdősův teorém níže). První výsledek se získá elementárními metodami. Druhý je založen na analytických mezích pro funkci faktoriál.

Bertrandův postulát byl navržen pro aplikace do permutačních grup. Sylvester (1814–1897) zobecnil slabší výrok pomocí výroku: součin ${\textstyle k}$ po sobě jdoucích celých čísel větších než ${\textstyle k}$ je dělitelný prvočíslem větším než ${\textstyle k}$. Z toho vyplývá Bertrandův (slabší) postulát, vezmeme-li ${\textstyle k=n}$ a dosadíme za ${\textstyle k}$ čísla ${\textstyle (n+1)}$, ${\textstyle (n+2)}$ až ${\textstyle n+k=2n}$ včetně, kde ${\displaystyle n>1}$. Podle Sylvestrova zobecnění má jedno z těchto čísel prvočíselného dělitele většího než ${\displaystyle k}$. Protože všechna tato čísla jsou menší než ${\displaystyle 2(k+1)}$, číslo s prvočíselným dělitelem větším než ${\displaystyle k}$ má pouze jednoho prvočíselného dělitele, a je tedy prvočíslem. Všimněme si, že ${\displaystyle 2n}$ není prvočíslo, a proto nyní víme, že existuje prvočíslo ${\displaystyle k}$, pro které platí ${\displaystyle k}$.

V roce 1932 publikoval také Erdős (1913–1996) jednodušší důkaz využívající kombinační čísla a Čebyševovu funkci ϑ, definovanou jako:

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p=2}^{x}\ln(p)}$,

kde ${\textstyle p}$ jsou prvočísla menší nebo rovna ${\textstyle x}$. Podrobnosti viz důkaz Bertrandova postulátu.

Erdős v roce 1934 dokázal, že pro každé kladné celé číslo ${\textstyle k}$ existuje přirozené číslo ${\textstyle N}$ takové, že pro všechna ${\textstyle n>N}$, se mezi ${\textstyle n}$ a ${\textstyle 2n}$ nachází alespoň ${\textstyle k}$ prvočísel. Ekvivalentní tvrzení bylo prokázáno v roce 1919 Ramanujanem.

Z prvočíselné věty vyplývá, že pro jakékoli reálné ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje ${\displaystyle n_{0}>0}$ takové, že pro všechna ${\displaystyle n>n_{0}}$ existuje prvočíslo ${\displaystyle p}$ takové, že ${\displaystyle n<p<(1+\varepsilon )n}$ . Lze například ukázat, že

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}{n/\log n}}=\varepsilon ,}$

z čehož vyplývá, že ${\displaystyle \pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}$ jde do nekonečna (a zejména je větší než 1 pro dostatečně velké ${\displaystyle n}$).[5] ${\displaystyle n}$

Byly také dokázány neasymptotické meze. V roce 1952 Jitsuro Nagura dokázal, že pro ${\displaystyle n\geq 25}$ se mezi ${\displaystyle n}$ a${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{5}}\right)n}$ vždy nachází prvočíslo.

V roce 1976 Lowell Schoenfeld ukázal, že pro ${\displaystyle n\geq 2010760}$ se na otevřeném intervalu${\displaystyle n<p<\left(1+{\frac {1}{16597}}\right)n}$ vždy nachází prvočíslo ${\displaystyle p}$.

Pierre Dusart ve své disertační práci z roku 1998 vylepšil výše uvedený výsledek, když ukázal, že pro ${\displaystyle k\geq 463}$,${\displaystyle p_{k+1}\leq \left(1+{\frac {1}{2\ln ^{2}{p_{k}}}}\right)p_{k}}$ a zejména pro ${\displaystyle x\geq 3275}$existuje prvočíslo ${\displaystyle p}$ na intervalu ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{2\ln ^{2}{x}}}\right)x}$.

V roce 2010 Pierre Dusart dokázal, že pro ${\displaystyle x\geq 396738}$ existuje alespoň jedno prvočíslo ${\displaystyle p}$ na intervalu${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{25\ln ^{2}{x}}}\right)x}$.

V roce 2016 Pierre Dusart zlepšil svůj výsledek z roku 2010, když ukázal, že pokud ${\displaystyle x\geq 89693}$, pak existuje alespoň jedno prvočíslo ${\displaystyle p}$ na intervalu ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{\ln ^{3}{x}}}\right)x}$. Ukázal také, že pro ${\displaystyle x\geq 468991632}$ existuje alespoň jedno prvočíslo ${\displaystyle p}$ na intervalu${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{5000\ln ^{2}{x}}}\right)x}$.

Baker, Harman a Pintz dokázali, že v intervalu ${\displaystyle [x-x^{0.525},\,x]}$ se nachází prvočíslo pro všechna dostatečně velká ${\displaystyle x}$.

• Posloupnost prvočísel spolu s 1 je úplná posloupnost; libovolné kladné celé číslo může být zapsáno jako součet prvočísel (a 1), přičemž každé z nich je použito nanejvýš jednou.
• Jediné harmonické číslo, které je zároveň celé, je číslo 1.