Eulerova funkce
Eulerova funkce je významná funkce v teorii čísel.
Značí se .
Definice
je počet všech přirozených čísel k takových, že a NSD(k,n)=1, tedy k a n jsou nesoudělná čísla. Ihned z definice jsou patrné následující vlastnosti:
- ,
- pro p prvočíslo,
- pro p prvočíslo a m kladný celý exponent.
Výpočet Eulerovy funkce
K výpočtu hodnoty Eulerovy funkce pro obecný argument n se používá následující vlastnost (multiplikativnost): Nechť x,y jsou dvě nesoudělná celá kladná čísla, potom
- .
Toto tvrzení se dokazuje pomocí čínské věty o zbytcích.
Je patrné, že je-li znám rozklad argumentu n na prvočísla:
je hodnota Eulerovy funkce rovna
Naproti tomu není známo, zda lze Eulerovu funkci efektivně spočítat bez znalosti rozkladu argumentu na prvočísla; efektivní algoritmus znamená v tomto případě algoritmus polynomiální.
Objev prakticky využitelného algoritmu pro výpočet Eulerovy funkce bez znalosti rozkladu argumentu by měl ničivé důsledky pro bezpečnost šifry RSA, neboť s jeho pomocí by každý byl schopen dopočítat z veřejného klíče klíč soukromý.