Prvočinitel

V oboru abstraktní algebry je prvočinitel takový prvek $p$ komutativního okruhu $R$ , který není ani nulou ani jednotkou a který pro všechna $a,b\in R$ splňuje podmínku, že pokud $p$ dělí součin $ab$ , pak $p$ dělí $a$ nebo $p$ dělí $b$ .

Jedná se o zobecnění prvočísel. V případě celých čísel jsou prvočiniteli právě prvočísla a čísla k nim asociovaná, tedy prvočísla vynásobená $-1$ , tedy čísla $2,-2,3,-3,5,-5,7,-7,11,-11,\dots$ .

Vlastnosti

Je-li prvek $c$ prvočinitelem, je prvočinitelem i prvek $c\cdot j$ pro libovolnou jednotku $j$
V libovolném oboru integrity platí, že prvočinitel je vždy ireducibilním prvkem, ale opačně to obecně neplatí (příklad níže). V Gaussových oborech, kde platí analogie Základní věty aritmetiky, také platí, že každý ireducibilní prvek je prvočinitelem.
Prvek $c$ , který není jednotkou, je prvočinitelem právě tehdy, když je jím generovaný hlavní ideál $\left(c\right)$ nenulovým prvoideálem

Příklady

například čísla $-2$ a $5$ (a mnohá jiná) v oboru celých čísel
například prvek $2+i$ (a mnohé jiné) v oboru Gaussových celých čísel
například mnohočlen $x^{2}+1$ (a mnohé jiné) v polynomiálním okruhu všech mnohočlenů s koeficienty z okruhu celých čísel
v oboru integrity $\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]$ , jehož prvky jsou čísla tvaru $a+bi{\sqrt {5}}$ pro $a,b\in \mathbb {Z}$ , je sice číslo 2 ireducibilním prvkem, ale přestože dělí číslo 6, nedělí ani jeden z činitelů $(1+i{\sqrt {5}})\cdot (1-i{\sqrt {5}})=6$ , tedy se nejedná o prvočinitele.
protože všechny prvky těles jsou buď nulou nebo jednotkami, neobsahují tělesa žádné prvočinitele

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Primelement na německé Wikipedii.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.