Prvočíselná funkce

Rozložení prvočísel mezi přirozenými čísly je předmětem zájmu číselných teoretiků již dlouho. Na konci 18. století vyslovili Carl Friedrich Gauss a Adrien-Marie Legendre domněnku, že prvočíselná funkce přibližně odpovídá funkci

${\displaystyle x/\operatorname {ln} (x)\!}$

tedy že

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} (x)}}=1.\!}$

Tento výsledek, známý jako prvočíselná věta, se podařilo dokázat až v roce 1896, kdy jeho důkaz podali nezávisle na sobě Jacques Hadamard a Charles de la Vallée Poussin za použití Riemannovy funkce.

Pro malé hodnoty je nejsnazší explicitně zjistit všechna prvočísla menší než ${\displaystyle x}$ (například pomocí Eratosthenova síta) a sečíst je.

Legendre vymyslel propracovanější způsob výpočtu ${\displaystyle \pi (x)}$: Pro dané reálné číslo ${\displaystyle x}$ a různá prvočísla ${\displaystyle p_{1}}$, ${\displaystyle p_{2}}$, …, ${\displaystyle p_{k}}$ je počet přirozených čísel nesoudělných se všemi ${\displaystyle p_{i}}$ a menších než ${\displaystyle x}$ roven

${\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots ,}$

Pokud za ${\displaystyle p_{1}}$, ${\displaystyle p_{2}}$, …, ${\displaystyle p_{k}}$ zvolíme všechna prvočísla menší než odmocnina z ${\displaystyle x}$, je toto číslo rovno:

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1\,}$

Ještě lepší algoritmy od té doby vymysleli například Ernst Meissel nebo Derrick Henry Lehmer.