Lineární diferenciální rovnice

Je dána diferenciální rovnice ${\displaystyle y''-4y'+5y=0}$. Charakteristická rovnice je ${\displaystyle z^{2}-4z+5=0}$, a její kořeny jsou 2±i. Báze řešení je tedy ${\displaystyle \{y_{1},y_{2}\}=\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}}$. Funkce y je řešením právě tehdy, když ${\displaystyle y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}$ pro libovolné konstanty ${\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbf {C} }$.

Protože koeficienty původní rovnice jsou reálné,

• pravděpodobně nás nezajímají komplexní řešení
• prvky báze vycházejí z komplexně sdružených hodnot

Lineární kombinace

${\displaystyle u_{1}={\mbox{Re}}(y_{1})={\tfrac {1}{2}}(y_{1}+y_{2})=e^{2x}\cos(x),}$

${\displaystyle u_{2}={\mbox{Im}}(y_{1})={\tfrac {1}{2i}}(y_{1}-y_{2})=e^{2x}\sin(x),}$

jsou reálnou bází ${\displaystyle \{u_{1},u_{2}\}}$.

Diferenciální rovnici druhého řádu

${\displaystyle D^{2}y=-k^{2}y,}$

která reprezentuje jednoduchý harmonický oscilátor, lze zapsat jako

${\displaystyle (D^{2}+k^{2})y=0.}$

Výraz v závorkách lze rozložit:

${\displaystyle (D+ik)(D-ik)y=0,}$

z čehož je vidět dvojice lineárně nezávislých řešení:

${\displaystyle (D-ik)y=0}$

${\displaystyle (D+ik)y=0.}$

Řešení jsou po řadě

${\displaystyle y_{0}=A_{0}e^{ikx}}$

a

${\displaystyle y_{1}=A_{1}e^{-ikx}.}$

Tato řešení tvoří bázi dvourozměrného prostoru řešení diferenciální rovnice druhého řádu: to znamená, že lineární kombinace těchto řešení bude také řešením. Konkrétně lze zkonstruovat následující řešení

${\displaystyle y_{0'}={C_{0}e^{ikx}+C_{0}e^{-ikx} \over 2}=C_{0}\cos(kx)}$

a

${\displaystyle y_{1'}={C_{1}e^{ikx}-C_{1}e^{-ikx} \over 2i}=C_{1}\sin(kx).}$

Tato poslední dvě trigonometrická řešení jsou lineárně nezávislá, takže mohou sloužit jako jiná báze prostoru řešení, což dává následující reálné obecné řešení:

${\displaystyle y_{H}=C_{0}\cos(kx)+C_{1}\sin(kx).}$

Rovnice pro tlumený harmonický oscilátor má tvar:

${\displaystyle \left(D^{2}+{\frac {b}{m}}D+\omega _{0}^{2}\right)y=0,}$

Výraz v závorkách můžeme rozložit: nejdříve získáme charakteristickou rovnici nahrazením D za λ. Tato rovnice musí být splněna pro všechna y, tedy:

${\displaystyle \lambda ^{2}+{\frac {b}{m}}\lambda +\omega _{0}^{2}=0.}$

Řešíme pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:

${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{2}}\left(-{\frac {b}{m}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{m^{2}}}-4\omega _{0}^{2}}}\right).}$

A výsledek použijeme pro faktorizaci původní diferenciální rovnice:

${\displaystyle \left(D+{\frac {b}{2m}}-{\sqrt {{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}-\omega _{0}^{2}}}\right)\left(D+{\frac {b}{2m}}+{\sqrt {{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0.}$

Což dává dvojici rovnic:

${\displaystyle \left(D+{\frac {b}{2m}}-{\sqrt {{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0}$

${\displaystyle \left(D+{\frac {b}{2m}}+{\sqrt {{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0}$

s řešeními po řadě

${\displaystyle y_{0}=A_{0}e^{-\omega x+{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}=A_{0}e^{-\omega x}e^{{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}}$

${\displaystyle y_{1}=A_{1}e^{-\omega x-{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}=A_{1}e^{-\omega x}e^{-{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}}$

kde ω = b/2m. Z této lineárně nezávislé dvojice řešení můžeme zkonstruovat jinou lineárně nezávislou dvojici, která tedy slouží jako báze pro dvourozměrný prostor řešení:

${\displaystyle y_{H}(A_{0},A_{1})(x)=\left(A_{0}\sinh \left({\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x\right)+A_{1}\cosh \left({\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x\right)\right)e^{-\omega x}.}$

Ale pro |ω| < |ω₀| je vhodnější se zbavit imaginárních složek a obecné řešení vyjádřit jako

${\displaystyle y_{H}(A_{0},A_{1})(x)=\left(A_{0}\sin \left({\sqrt {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}x\right)+A_{1}\cos \left({\sqrt {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}x\right)\right)e^{-\omega x}.}$

Toto druhé řešení odpovídá podkritickému tlumení, při kterém dochází k tlumenému kmitání, zatímco první řešení odpovídá tlumení nadkritickému, kterému již odpovídá pouze aperiodický pohyb.

Řešíme rovnici ${\displaystyle y''-4y'+5y=\sin(kx)}$. Vezměme bázi řešení nalezenou výše ${\displaystyle \{e^{(2+i)x}=y_{1}(x),e^{(2-i)x}=y_{2}(x)\}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}W&={\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&e^{(2-i)x}\\(2+i)e^{(2+i)x}&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}}=e^{4x}{\begin{vmatrix}1&1\\2+i&2-i\end{vmatrix}}=-2ie^{4x}\\u'_{1}&={\frac {1}{W}}{\begin{vmatrix}0&e^{(2-i)x}\\\sin(kx)&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}}=-{\tfrac {i}{2}}\sin(kx)e^{(-2-i)x}\\u'_{2}&={\frac {1}{W}}{\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&0\\(2+i)e^{(2+i)x}&\sin(kx)\end{vmatrix}}={\tfrac {i}{2}}\sin(kx)e^{(-2+i)x}.\end{aligned}}}$

Použitím seznamu integrálů exponenciálních funkcí

${\displaystyle u_{1}=-{\tfrac {i}{2}}\int \sin(kx)e^{(-2-i)x}\,\mathrm {d} x={\frac {ie^{(-2-i)x}}{2(3+4i+k^{2})}}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)}$

${\displaystyle u_{2}={\tfrac {i}{2}}\int \sin(kx)e^{(-2+i)x}\,\mathrm {d} x={\frac {ie^{(i-2)x}}{2(3-4i+k^{2})}}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right).}$

odtud

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{p}&=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)={\frac {i}{2(3+4i+k^{2})}}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)+{\frac {i}{2(3-4i+k^{2})}}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right)\\&={\frac {(5-k^{2})\sin(kx)+4k\cos(kx)}{(3+k^{2})^{2}+16}}.\end{aligned}}}$

(Všimněte si, že u₁ a u₂ mají faktory, které vyruší y₁ a y₂, což je typické.)

Pro zajímavost, fyzickou interpretací této obyčejné diferenciální rovnice je buzený tlumený harmonický oscilátor; y_p reprezentuje stacionární řešení a ${\displaystyle c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}$ obecné.

Jednoduchým příkladem je Eulerova rovnice často používaná v technice

${\displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.}$

Uvažujme diferenciální rovnici prvního řádu s konstantními koeficienty:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=1.}$

Tato rovnice je zvlášť důležitá pro soustavy prvního řádu jako například RC obvody a tlumené kmitání.

V tomto případě, f(x) = b, g(x) = 1.

Proto její řešení je

${\displaystyle y(x)=e^{-bx}\left({\frac {e^{bx}}{b}}+C\right)={\frac {1}{b}}+Ce^{-bx}.}$