Variace konstant

Máme řešit rovnici

${\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh {x}.\;\!}$

nejdříve najdeme obecné řešení diferenciální rovnice, to jest řešení homogenní diferenciální rovnice

${\displaystyle y''+4y'+4y=0.\;\!}$

určíme kořeny charakteristické rovnice

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0\;\!}$

${\displaystyle \lambda =-2.\;\!}$

protože řešením je vícenásobný kořen, musíme zavést faktor x pro jedno řešení pro zajištění lineární nezávislosti.

Tak získáme u₁ = e^−2x a u₂ = xe^−2x. Wronskián těchto dvou funkcí je

${\displaystyle {\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}}$

${\displaystyle =-e^{-4x}(2x-1)+2xe^{-4x}=(-2x+1+2x)e^{-4x}=e^{-4x}.\;\!}$

Protože Wronskián je nenulový, funkce jsou lineárně nezávislé, takže jsme získali přímo obecné řešení homogenní diferenciální rovnice (nejen jeho podmnožinu).

Hledáme funkce A(x) a B(x), tak že A(x)u₁ + B(x)u₂ je obecné řešení nehomogenní rovnice. Potřebujeme pouze vypočítat integrály

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)b(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)b(x)\,\mathrm {d} x}$

to jest,

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh {x}\,\mathrm {d} x=-\int xe^{2x}\cosh {x}\,\mathrm {d} x=-{1 \over 18}e^{x}(9(x-1)+e^{2x}(3x-1))+C_{1}}$

${\displaystyle B(x)=\int {1 \over e^{-4x}}e^{-2x}\cosh {x}\,\mathrm {d} x=\int e^{2x}\cosh {x}\,\mathrm {d} x={1 \over 6}e^{x}(3+e^{2x})+C_{2}}$

kde ${\displaystyle C_{1}}$ a ${\displaystyle C_{2}}$ jsou integrační konstanty.

Máme diferenciální rovnici tvaru

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)\,}$

a definujeme lineární operátor

${\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)\,}$

kde D reprezentuje diferenciální operátor. Proto máme jak řešit rovnice ${\displaystyle Lu(x)=f(x)}$ pro ${\displaystyle u(x)}$, kde ${\displaystyle L}$ a ${\displaystyle f(x)}$ jsou známé.

Musíme vyřešit první odpovídajícím homogenní rovnici:

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=0\,}$

libovolnou technikou, kterou si vybereme. Jakmile budeme mít dvě lineárně nezávislá řešení této homogenní diferenciální rovnice (protože se jedná o rovnici druhého řádu) — označíme je u₁ a u₂ — můžeme využít metodu variace konstant.

Od tohoto okamžiku tedy hledáme obecné řešení diferenciální rovnice ${\displaystyle u_{G}(x)}$, o němž předpokládáme, že je tvaru

${\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).\,}$

kde ${\displaystyle A(x)}$ a ${\displaystyle B(x)}$ jsou neznámé funkce a ${\displaystyle u_{1}(x)}$ a ${\displaystyle u_{2}(x)}$ jsou řešení na homogenní rovnice. Všimněte si, že jestliže ${\displaystyle A(x)}$ a ${\displaystyle B(x)}$ jsou konstantní, pak ${\displaystyle Lu_{G}(x)=0}$. Požadujeme, aby A=A(x) a B=B(x) byla tvaru

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.\,}$

Nyní,

${\displaystyle u_{G}'(x)=(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x))'=(A(x)u_{1}(x))'+(B(x)u_{2}(x))'\,}$

${\displaystyle =A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}(x)+B(x)u_{2}'(x)\,}$

${\displaystyle =A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\,}$

a díky platnosti výše uvedené podmínky dostáváme

${\displaystyle u_{G}'(x)=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x).\,}$

Dalším derivováním (mezikroky nejsou uvedeny)

${\displaystyle u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).\,}$

Nyní můžeme zapsat použití L na u_G jako

${\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).\,}$

Protože u₁ a u₂ jsou řešení, pak

${\displaystyle Lu_{G}=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).\,}$

dostáváme systém rovnic

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}.}$

roznásobením dostaneme

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}.}$

Takže výše uvedený systém určuje právě podmínku

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0\,}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f.\,}$

Hledáme A(x) a B(x) z této podmínky, tak, daný

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}}$

můžeme řešit pro (A′(x), B′(x))^T, tak

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ={1 \over W}{\begin{pmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}},}$

kde W označuje Wronskián u₁ a u₂. (Z předpokladu, že u₁ a u₂ jsou lineárně nezávislé, víme, že W je nenulový.)

Tedy

${\displaystyle A'(x)=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),\;B'(x)={1 \over W}u_{1}(x)f(x)}$

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Zatímco homogenní rovnice lze řešit relativně snadno, tato metoda umožňuje výpočet koeficientů obecného řešení nehomogenní rovnice a tedy umožňuje zjistit úplné obecné řešení nehomogenní rovnice.

Všimněte si, že ${\displaystyle A(x)}$ a ${\displaystyle B(x)}$ jsou vesměs určeny až na aditivní konstantu (integrační konstanta); očekávali bychom dvě integrační konstanty, protože původní rovnice byla druhého řádu. Přidáním konstanty k ${\displaystyle A(x)}$ nebo ${\displaystyle B(x)}$ se hodnota ${\displaystyle Lu_{G}(x)}$ nezmění, protože ${\displaystyle L}$ je lineární.