Eulerova rovnice

Zkoušíme řešení tvaru[1]

${\displaystyle y=x^{m}.\,}$

Zderivováním dostaneme:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=mx^{m-1}\,}$

a

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=m(m-1)x^{m-2}.\,}$

Dosadíme do původní rovnice:

${\displaystyle x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+ax(mx^{m-1})+b(x^{m})=0\,}$

A upravíme na:

${\displaystyle m^{2}+(a-1)m+b=0.\,}$

Tuto rovnici řešíme pro proměnnou m. Existují tři odlišné zajímavé případy:

• Případ 1: Dva různé reálné kořeny m₁ a m₂
• Případ 2: Jeden reálný vícenásobný kořen m
• Případ 3: Komplexní kořeny α ± βi

V případě 1 má Eulerova rovnice řešení

${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}\,}$

V případě 2 má Eulerova rovnice řešení

${\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}\,}$

Pro získání tohoto řešení je nutné po nalezení jednoho řešení y = x^m použít metodu redukce řádu.

V případě 3 má Eulerova rovnice řešení

${\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))\,}$

${\displaystyle \alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\,}$

${\displaystyle \beta =\mathop {\rm {Im}} (m)\,}$

Pro ${\displaystyle c_{1}\,}$ a ${\displaystyle c_{2}\,}$ v reálné rovině

Tento tvar řešení odvodíme položením x = e^t a použitím Eulerova vzorce.

V rovnici

${\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+ax{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0\,}$

provedeme substituci proměnné definovanou vztahem

${\displaystyle t=\ln(x).\,}$

${\displaystyle y(x)=\phi (\ln(x))=\phi (t).\,}$

Po zderivování:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\phi }{\mathrm {d} t^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}{\bigg )}.}$

Substituce ${\displaystyle \phi (t)}$ dává

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\phi }{\mathrm {d} t^{2}}}+(a-1){\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}+b\phi =0.\,}$

Tato rovnice pro ${\displaystyle \phi (t)}$ může být snadno vyřešena pomocí svého charakteristického polynomu

${\displaystyle \lambda ^{2}+(a-1)\lambda +b=0.}$

Nyní jestliže ${\displaystyle \lambda _{1}}$ a ${\displaystyle \lambda _{2}}$ jsou kořeny tohoto polynomu, rozlišujeme dva hlavní případy: různé kořeny a dvojité kořeny:

Jestliže má rovnice různé kořeny, obecné řešení je dáno vztahem

${\displaystyle \phi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}}$, kde exponenciální funkce mohou být komplexní.

Jestliže kořeny jsou si rovné, obecné řešení je dáno vztahem

${\displaystyle \phi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}te^{\lambda _{1}t}.}$

V obou případech lze řešení ${\displaystyle y(x)}$ nalézt tak, že položíme ${\displaystyle t=\ln(x)}$, tedy ${\displaystyle \phi (\ln(x))=y(x)}$.

To dává v prvním případě

${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}}}$,

ve druhém případě

${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}\ln(x)x^{\lambda _{1}}.}$

Řešíme rovnici

${\displaystyle x^{2}u''-3xu'+3u=0\,,}$

nahradíme jednoduché řešení x^α:

${\displaystyle x^{2}(\alpha (\alpha -1)x^{\alpha -2})-3x(\alpha x^{\alpha -1})+3x^{\alpha }=\alpha (\alpha -1)x^{\alpha }-3\alpha x^{\alpha }+3x^{\alpha }=(\alpha ^{2}-4\alpha +3)x^{\alpha }=0\,.}$

Aby x^α bylo řešení, platí buď x = 0, což dává triviální řešení, anebo koeficient u x^α je nula. Řešením kvadratické rovnice dostaneme α = 1, 3. Obecné řešení je proto

${\displaystyle u=c_{1}x+c_{2}x^{3}\,.}$