Cramerovo pravidlo

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejně neznámých jako rovnic. Označme matici soustavy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (je typu ${\displaystyle n\times n}$). Dále označme ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$ jako matici, kterou získáme z matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$, nahradíme-li v ní ${\displaystyle i}$-tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}$,

pak má ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$ tvar

${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}$

Pokud je determinant matice soustavy nenulový, ${\displaystyle \det \mathbf {A} \neq 0}$, tzn. matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}}$

pro ${\displaystyle i=1,2,...,n}$. Čísla ${\displaystyle x_{1}}$ až ${\displaystyle x_{n}}$ spolu tvoří jedno řešení.[1]

Úkolem je řešit soustavu rovnic

${\displaystyle x+y=3}$

${\displaystyle x-2y=1}$

Determinant matice soustavy je

${\displaystyle \det \mathbf {A} ={\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}}=-3}$

Poněvadž je ${\displaystyle \det \mathbf {A} \neq 0}$, lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

${\displaystyle \det \mathbf {A} _{1}={\begin{vmatrix}3&1\\1&-2\end{vmatrix}}=-7}$

${\displaystyle \det \mathbf {A} _{2}={\begin{vmatrix}1&3\\1&1\end{vmatrix}}=-2}$

Řešení má tedy tvar

${\displaystyle x={\frac {\det \mathbf {A} _{1}}{\det \mathbf {A} }}={\frac {-7}{-3}}={\frac {7}{3}}}$

${\displaystyle y={\frac {\det \mathbf {A} _{2}}{\det \mathbf {A} }}={\frac {-2}{-3}}={\frac {2}{3}}}$

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.[2]

${\displaystyle {\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&b_{j-1}&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&b_{j}&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&b_{j+1}&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {b_{j}}{\det \mathbf {A} }}{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&0&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&0&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&1&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&0&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&0&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}}$

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ označíme ${\displaystyle \mathbf {A} _{ji}}$, pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

${\displaystyle {\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\frac {(-1)^{i+j}\det \mathbf {A} _{ji}}{\det \mathbf {A} }}}$

Zlomek ve výrazu je prvkem ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})_{i,j}}$ inverzní matice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$.

${\displaystyle {\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {A} ^{-1})_{i,j}b_{j}=(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} )_{i}}$

Protože ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$ a ${\displaystyle \det \mathbf {A} \neq 0}$, je ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }$ a tedy

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}}$

• Soustava lineárních rovnic
• Matice
• Determinant

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Cramerovo pravidlo na Wikimedia Commons
• Pěstujeme lineární algebru
• Online výpočet soustav lineárních rovnic