Integrační faktor

V matematice je integrační faktor funkce, kterou je potřeba znásobit danou rovnici obsahující diferenciály, abychom dostali její řešení. Používá se nejen pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, ale i v diferenciálním a integrálním počtu funkcí více proměnných, kde můžeme neexaktní diferenciál vynásobením integračním faktorem převést na exaktní (který je pak možné integrovat pro získání skalárního pole). To je zvlášť užitečné v termodynamice. Například funkce $1/\Theta$ ( $\Theta$ je termodynamická teplota) je integračním faktorem veličiny $Q$ (teplo). Diferenciál ${\textstyle \delta Q}$ není ve stavových proměnných totální diferenciál, kdežto ${\textstyle {\textrm {d}}{\frac {Q}{\Theta }}}$ již ano. Veličina $\int {\frac {\delta Q}{\Theta }}$ je již stavovou funkcí a až na konstantu $S_{0}$ určuje veličinu entropie.

Použití při řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu

Integrační faktory jsou užitečné pro řešení obyčejných diferenciálních rovnice, které lze vyjádřit ve tvaru

y'+P(x)y=Q(x)

Základní myšlenkou je najít nějakou funkci $M(x)$ nazývanou „integrační faktor“, kterou můžeme znásobit naši diferenciální rovnici, abychom levou stranu dostali pod společnou derivaci. Pro kanonické lineární diferenciální rovnice prvního řádu uvedeného tvaru použijeme integrační faktor

M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}

znásobení původní rovnice výrazem $M(x)$ dává

y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}

a použitím součinového pravidla v opačném směru lze levou stranu vyjádřit jako jedinou derivaci podle $x$

y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s})

Tuto skutečnost použijeme pro zjednodušení našeho výrazu na

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s})=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}

Pak obě strany integrujeme vzhledem k $x$ , přičemž nejdříve přejmenujeme $x$ na $t$ , takže dostaneme

ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}=\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)\mathrm {d} s}\,\mathrm {d} t+C

Přesunutím exponenciálních funkcí na pravou stranu dostaneme obecné řešení naší obyčejné diferenciální rovnice:

y=e^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)\mathrm {d} s}\,\mathrm {d} t+Ce^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}

V případě homogenní diferenciální rovnice, u níž je $Q(x)=0$ , dostáváme

y={\frac {C}{e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}}}

kde $C$ je konstanta.

Příklad

Řešte diferenciální rovnici

y'-{\frac {2y}{x}}=0.

Vidíme, že v tomto případě $P(x)={\frac {-2}{x}}$

M(x)=e^{\int P(x)\,\mathrm {d} x}

M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,\mathrm {d} x}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}

(všimněte si, že nemusíme používat integrační konstantu – stačí nám libovolné řešení, nepotřebujeme obecné řešení)

M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.

Znásobením obou stran výrazem $M(x)$ dostaneme

{\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0

{\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0

{\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0

{\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.

Obrácením podílového pravidla dostaneme

\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0

nebo

{\frac {y}{x^{2}}}=C\,

což dává

y\left(x\right)=Cx^{2}.

Obecné použití

Integrační faktor je libovolný výraz, kterým násobíme diferenciální rovnici, abychom umožnili její integraci. Není omezen na lineární rovnice prvního řádu. Například u nelineární rovnice druhého řádu

{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}=Ay^{2/3}

lze jako integrační faktor použít ${\tfrac {dy}{dt}}$ :

{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=Ay^{2/3}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}.

Pro integraci si všimněte, že obráceným použitím řetězového pravidla lze obě strany rovnice vyjádřit jako derivace:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).

odtud

\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.

Tento tvar může být v některých případech užitečnější. Provedením separace proměnných dostaneme:

\int {\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1};

toto je implicitní řešení, které zahrnuje neelementární integrál. Pro svou složitost pravděpodobně není příliš užitečné, ale jedná se o obecné řešení. Stejnou metodu lze použít pro výpočet periody jednoduchého kyvadla.

Reference

MUNKHAMMAR, Joakim. Integrating Factor. MathWorld. Dostupné online..

Související články

Variace konstant
Příklady diferenciálních rovnic
Součinové pravidlo
Exaktní diferenciál

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.