Součinové pravidlo

Objev tohoto pravidla je připisován Gottfriedu Leibnizovi, který jej dokázal pomocí diferenciálů[1]. Ale Child (2008) dokazuje, že autorem je Isaac Barrow. Zde je Leibnizův důkaz: Nechť u(x) a v(x) jsou dvě derivovatelné funkce proměnné x. Pak derivace uv je

${\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}$

Protože term du·dv je „zanedbatelný“ (v porovnání s du a dv), Leibniz odvodil, že

${\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,\!}$

a toto je vskutku diferenciální tvar součinového pravidla. Jeho vydělením diferenciálem dx získáme

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}\,\!}$

což lze také zapsat v Lagrangeově notaci jako

${\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,\!}$

• Předpokládejme, že chceme derivovat ƒ(x) = x² sin(x). Použitím součinového pravidla, dostaneme derivaci ƒ '(x) = 2x sin(x) + x²cos(x) (protože derivace funkce x² je 2x a derivace funkce sin(x) je cos(x)).
• Speciálním případem součinového pravidla je pravidlo násobení konstantou, které říká:, jestliže c je reálné číslo a ƒ(x) je derivovatelná funkce, pak cƒ(x) je také derivovatelná a jeho derivace je (c × ƒ)'(x) = c × ƒ '(x). Je to důsledek součinového pravidla, protože derivace libovolné konstanty je nula. Z tohoto pravidla a součtového pravidla pro derivaci plyne, že derivace je lineární.
• Pravidlo pro integraci per partes je odvozeno ze součinového pravidla, stejně jako (slabá verze) podílového pravidla. („slabá“ verze nedokazuje, že je podíl derivovatelný, ale pouze říká, jaká je jeho derivace, pokud derivovatelný je.)

Součinové pravidlo můžeme považovat za speciální případ řetízkového pravidla pro více proměnných.

${\displaystyle {d(ab) \over dx}={\frac {\partial (ab)}{\partial a}}{\frac {da}{dx}}+{\frac {\partial (ab)}{\partial b}}{\frac {db}{dx}}=b{\frac {da}{dx}}+a{\frac {db}{dx}}.\,}$