Charakteristická rovnice

Charakteristická rovnice (nebo pomocná rovnice[1]) je v matematice algebraická rovnice n-tého stupně, na které závisí řešení diferenciální rovnice n-tého řádu[2]. Charakteristickou rovnici lze použít pro řešení lineárních, homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty[1], které lze obecně zapsat

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0

kde $y\,$ je závislá proměnná a $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}$ jsou konstanty. Tato diferenciální rovnice má charakteristickou rovnici tvaru

a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0

Z kořenů $r^{n},r^{n-1},\ldots ,r$ charakteristické rovnice můžeme zkonstruovat obecné řešení diferenciální rovnice[1][3][4]. Tuto metodu řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty objevil Leonhard Euler, který našel vztah mezi uvedenými rovnicemi[2]. Vlastnosti Eulerovy charakteristické rovnice později podrobněji studovali francouzští matematici Augustin Louis Cauchy a Gaspard Monge[2][4].

Derivace

Hledáme-li řešení lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}$ ,

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{'}+a_{0}y=0

vidíme, že pokud by se řešení rovnalo $y(x)=e^{rx}\,$ , každý sčítanec v rovnici bude konstantním násobkem $e^{rx}\,$ . To pramení z faktu, že derivace exponenciální funkce $e^{rx}\,$ je násobkem původní funkce, čili $y'=re^{rx}\,$ , $y''=r^{2}e^{rx}\,$ a $y^{(n)}=r^{n}e^{rx}\,$ jsou všechno násobky $e^{rx}\,$ . To naznačuje, že určité hodnoty $r\,$ dovolují, aby součet násobků $e^{rx}\,$ dával nulu, a řešil homogenní diferenciální rovnici[3]. Abychom zjistili hodnotu $r\,$ , dosadíme funkci $y=e^{rx}\,$ a její derivace do diferenciální rovnice za $y$ a jeho derivace, čímž dostaneme

a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0

Protože $e^{rx}\,$ není nikdy rovno nule, můžeme jím rovnici vydělit, čímž dostaneme charakteristickou rovnici

a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0

Když nalezneme kořeny $r\,$ této charakteristické rovnice, můžeme z nich sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice[1][4]. Například jestliže se jeden kořen rovná 3, pak obecné řešení bude $y(x)=ce^{3x}\,$ , kde $c\,$ je konstanta.

Sestrojení obecného řešení

Příklad

Lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0\,

má charakteristickou rovnici

r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0\,

.

Její faktorizací dostaneme

(r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0\,

z čehož vidíme, že řešeními rovnice je jeden jednoduchý kořen $r_{1}=3\,$ a dvě dvojice komplexních kořenů $r_{2,3,4,5}=-1\pm i$ . Z toho plyne, že diferenciální rovnice má reálné obecné řešení

y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)\,

kde $c_{1},\ldots ,c_{5}$ jsou reálné konstanty

Naleznutí kořenů $r_{1},\ldots ,r_{n}$ charakteristické rovnice, nám umožňuje sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Kořeny mohou být reálné i komplexní a jednoduché nebo vícenásobné. Jestliže charakteristická rovnice má složky s jednoduchými reálnými kořeny, $h\,$ násobnými kořeny a $k\,$ komplexními kořeny po řadě odpovídajícími obecným řešením $y_{D}(x)\,$ , $y_{R_{1}}(x),\ldots ,y_{R_{h}}(x)$ a $y_{C_{1}}(x),\ldots ,y_{C_{k}}(x)$ , pak obecné řešení diferenciální rovnice je

y(x)=y_{D}(x)+y_{R_{1}}(x)+\cdots +y_{R_{h}}(x)+y_{C_{1}}(x)+\cdots +y_{C_{k}}(x)

Jednoduché reálné kořeny

Princip superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty říká, že jestliže $u_{1},\ldots ,u_{n}$ jsou $n\,$ lineárně nezávislé řešení určité diferenciální rovnice, pak jejich každá lineární kombinace $c_{1}u_{1}+\cdots +c_{n}u_{n}$ je také řešením rovnice pro libovolné hodnoty $c_{1},\ldots ,c_{n}$ [1][5]. Proto pokud má charakteristická rovnice jednoduché reálné kořeny $r_{1},\ldots ,r_{n}$ , její obecné řešení bude mít tvar

y_{D}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}

Vícenásobné reálné kořeny

Jestliže charakteristická rovnice má $k\,$ násobný kořen $r_{1}\,$ , pak je zřejmé, že $y_{p}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}$ je alespoň jedno její řešení[1]. Ale toto řešení není lineárně nezávislé s dalšími $k-1\,$ kořeny. Protože $r_{1}\,$ má násobnost $k\,$ , diferenciální rovnici můžeme faktorizovat na[1]

\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}y=0

Skutečnost, že $y_{p}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}$ je jedno řešení, nám umožňuje předpokládat, že obecné řešení má tvar $y(x)=u(x)e^{r_{1}x}\,$ , kde $u(x)\,$ je funkce, kterou je třeba nalézt. Substituce $ue^{r_{1}x}\,$ dává

\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(ue^{r_{1}x})-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}

pro $k=1\,$ . $k\,$ násobným použitím této skutečnosti dostáváme

\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0

což po vydělení $e^{r_{1}x}\,$ dává

{\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)=u^{(k)}=0

To platí právě tehdy, když $u(x)\,$ je polynom stupně $k-1\,$ , neboli $u(x)=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\cdots +c_{k}x^{k-1}$ [4]. Protože $y(x)=ue^{r_{1}x}\,$ , část obecného řešení odpovídající $r_{1}$ je

y_{R}(x)=e^{r_{1}x}(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1})

Komplexní kořeny

Pokud má charakteristická rovnice komplexní kořeny ve tvaru $r_{1}=a+bi$ a $r_{2}=a-bi$ , pak obecné řešení je $y(x)=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\,$ . Použitím Eulerova vzorce $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,$ můžeme toto řešení upravit:

{\begin{array}{rcl}y(x)&=&c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=&c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=&(c_{1}+c_{2})e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{array}}

kde $c_{1}\,$ a $c_{2}\,$ jsou libovolné (i komplexní) konstanty[4].

Pokud použijeme konstanty $c_{1}=c_{2}={\tfrac {1}{2}}$ , pak dostaneme partikulární řešení $y_{1}(x)=e^{ax}\cos bx\,$ .

Pokud použijeme konstanty $c_{1}={\tfrac {1}{2}}i$ a $c_{2}=-{\tfrac {1}{2}}i$ , pak dostaneme lineárně nezávislé řešení $y_{2}(x)=e^{ax}\sin bx\,$ . Díky principu superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, můžeme příspěvek k obecnému řešení diferenciální rovnice pro dvojici komplexně sdružených kořenů $r=a\pm bi\,$ vyjádřit vzorcem $y_{C}(x)=e^{ax}(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx)\,$ .

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Characteristic equation (calculus) na anglické Wikipedii.

EDWARDS, C. Henry; PENNEY, David E. Differential Equations: Computing and Modeling. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education, 2004. Dostupné online. ISBN 978-0-13-600438-7. Kapitola 3.
SMITH, David Eugene. History of Modern Mathematics: Differential Equations [online]. University of South Florida. Dostupné online.
CHU, Herman; SHAH, Gaurav; MACALL, Tom. Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients [online]. eFunda. Dostupné online.
COHEN, Abraham. An Elementary Treatise on Differential Equations. [s.l.]: D. C. Heath and Company, 1906. Dostupné online.
DAWKINS, Paul. Dostupné online.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[edwards-1] EDWARDS, C. Henry; PENNEY, David E. Differential Equations: Computing and Modeling. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education, 2004. Dostupné online. ISBN 978-0-13-600438-7. Kapitola 3.

[smith-2] SMITH, David Eugene. History of Modern Mathematics: Differential Equations [online]. University of South Florida. Dostupné online.

[eFunda-3] CHU, Herman; SHAH, Gaurav; MACALL, Tom. Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients [online]. eFunda. Dostupné online.

[cohen-4] COHEN, Abraham. An Elementary Treatise on Differential Equations. [s.l.]: D. C. Heath and Company, 1906. Dostupné online.

[dawkins-5] DAWKINS, Paul. Dostupné online.