Metoda neurčitých koeficientů

Uvažujeme lineární nehomogenní obyčejnou diferenciální rovnici tvaru

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{(n-1)}y^{(n-1)}+...+a_{1}y'+a_{0}y=g(x).}$

Metoda spočívá v hledání obecného homogenního řešení ${\displaystyle y_{c}}$ komplementární lineární homogenní diferenciální rovnice

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{(n-1)}y^{(n-1)}+...+a_{1}y'+a_{0}y=0,}$

a partikulárního integrálu ${\displaystyle y_{p}}$ lineární nehomogenní obyčejné diferenciální rovnice s pravou stranou ${\displaystyle g(x)}$. Obecné řešení ${\displaystyle y}$ lineární nehomogenní obyčejné diferenciální rovnice pak je

${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}.}$[2]

Pokud ${\displaystyle g(x)}$ vyjádříme jako součet dvou funkcí ${\displaystyle h(x)+w(x)}$, pak říkáme, že ${\displaystyle y_{p_{1}}}$ je řešení vycházející z ${\displaystyle h(x)}$ a ${\displaystyle y_{p_{2}}}$ řešení vycházející z ${\displaystyle w(x)}$. Pak použitím principu superpozice můžeme říct, že partikulární integrál ${\displaystyle y_{p}}$ je

${\displaystyle y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.}$[2]

Pro nalezení partikulárního integrálu potřebujeme „uhodnout“ jeho tvar, přičemž některé koeficienty ponecháme proměnné, a jejich hodnoty zjistíme vyřešením rovnice. Tvarem je první derivace komplementární funkce. Následuje tabulka některých typických funkcí a odhadů tvaru jejich řešení.

Funkce x	Tvar y
${\displaystyle ke^{ax}\!}$	${\displaystyle Ce^{ax}\!}$
${\displaystyle kx^{n}\mathrm {,} \;n=0,1,2,\cdots \!}$	${\displaystyle K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots +K_{1}x+K_{0}\!}$
${\displaystyle k\cos(ax)\;\;\mathrm {nebo} \;\;k\sin(ax)\!}$	${\displaystyle K\cos(ax)+M\sin(ax)\!}$
${\displaystyle ke^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {nebo} \;\;ke^{ax}\sin(bx)\!}$	${\displaystyle e^{ax}(K\cos(bx)+M\sin(bx))\!}$
${\displaystyle ke^{ax}\cosh(bx)\;\;\mathrm {nebo} \;\;ke^{ax}\sinh(bx)\!}$	${\displaystyle e^{ax}(K\cosh(bx)+M\sinh(bx))\!}$
${\displaystyle P_{n}(x)e^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {nebo} \;\;P_{n}(x)e^{ax}\sin(bx)\!}$	${\displaystyle e^{ax}\left(\left(\sum _{i=0}^{n}Q_{i}x^{i}\right)\cos(bx)+\left(\sum _{i=0}^{n}R_{i}x^{i}\right)\sin(bx)\right)}$

kde ${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{i=1}^{n}k_{i}x^{i}\!}$

Pokud se v homogenním řešení objeví nějaký člen z výše uvedeného partikulárního integrálu pro y, musíme jej vynásobit dostatečnou mocninou x, aby řešení nebyla závislá. Jestliže funkci proměnné x lze vyjádřit jako součet členů z výše uvedené tabulky, jako odhad partikulárního integrálu použijeme součet odpovídajících termů proměnné y[1].

Příklad 1

Hledáme partikulární integrál rovnice

${\displaystyle y''+y=t\cos {t}.\!}$

Pravá strana t cos t má tvar

${\displaystyle P_{n}e^{\alpha t}\cos {\beta t}\!}$

pro n=1, k₁=1, α=0 a β=1.

Protože α + iβ = i je jednoduchý kořen charakteristické rovnice

${\displaystyle \lambda ^{2}+1=0\!}$

budeme zkoušet partikulární integrál tvaru

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{p}&=t[F_{1}(t)e^{\alpha t}\cos {\beta t}+G_{1}(t)e^{\alpha t}\sin {\beta t}]\\&=t[F_{1}(t)\cos {t}+G_{1}(t)\sin {t}]\\&=t[(A_{0}t+A_{1})\cos {t}+(B_{0}t+B_{1})\sin {t}]\\&=(A_{0}t^{2}+A_{1}t)\cos {t}+(B_{0}t^{2}+B_{1}t)\sin {t}.\\\end{aligned}}}$

Substitucí y_p do diferenciální rovnice, dostaneme identitu

${\displaystyle {\begin{aligned}t\cos {t}&=y_{p}''+y_{p}\\&=[(A_{0}t^{2}+A_{1}t)\cos {t}+(B_{0}t^{2}+B_{1}t)\sin {t}]''\\&\quad +[(A_{0}t^{2}+A_{1}t)\cos {t}+(B_{0}t^{2}+B_{1}t)\sin {t}]\\&=[2A_{0}\cos {t}+2(2A_{0}t+A_{1})(-\sin {t})+(A_{0}t^{2}+A_{1}t)(-\cos {t})]\\&\quad +[2B_{0}\sin {t}+2(2B_{0}t+B_{1})\cos {t}+(B_{0}t^{2}+B_{1}t)(-\sin {t})]\\&\quad +[(A_{0}t^{2}+A_{1}t)\cos {t}+(B_{0}t^{2}+B_{1}t)\sin {t}]\\&=[4B_{0}t+(2A_{0}+2B_{1})]\cos {t}+[-4A_{0}t+(-2A_{1}+2B_{0})]\sin {t}.\\\end{aligned}}}$

Porovnáním obou stran dostaneme soustavu

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrl}&&4B_{0}&&=1\\2A_{0}&&&+2B_{1}&=0\\-4A_{0}&&&&=0\\&-2A_{1}&+2B_{0}&&=0\\\end{array}}}$

která má řešení ${\displaystyle A_{0}}$ = 0, ${\displaystyle A_{1}}$ = 1/4, ${\displaystyle B_{0}}$ = 1/4, ${\displaystyle B_{1}}$ = 0. Výsledný partikulární integrál je tedy

${\displaystyle y_{p}={\frac {1}{4}}t\cos {t}+{\frac {1}{4}}t^{2}\sin {t}.}$

Příklad 2

Hledáme řešení lineární nehomogenní diferenciální rovnice

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=y+e^{x}.}$

Nehomogenní část má tvar uvedený v prvním případě v předchozí kapitole pro a=1. Protože tato nehomogenní část (${\displaystyle e^{x}}$) je lineárně závislá s obecným řešení homogenní části (${\displaystyle c_{1}e^{x}}$), musíme uvedený odhad znásobit dostatečně velkou mocninou x, aby byl lineárně nezávislý.

Výsledný odhad je:

${\displaystyle y_{p}=Axe^{x}.}$

substitucí této funkce a její derivace do diferenciální rovnice můžeme zjistit řešení A:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(Axe^{x}\right)=Axe^{x}+e^{x}}$

${\displaystyle Axe^{x}+Ae^{x}=Axe^{x}+e^{x}}$

${\displaystyle A=1.}$

Takže obecné řešení původní diferenciální rovnice je:

${\displaystyle y=c_{1}e^{x}+xe^{x}.}$

Příklad 3

Hledáme obecné řešení rovnice:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=t^{2}-y}$

${\displaystyle f(t)=t^{2}}$ je polynom 2. stupně, takže hledáme řešení jako obecný polynom druhého stupně:

${\displaystyle y_{p}=At^{2}+Bt+C}$, tedy

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y_{p}}{\mathrm {d} t}}=2At+B}$

Dosazením tohoto partikulárního integrálu s konstantami A, B a C do původní rovnice dostaneme

${\displaystyle 2At+B=t^{2}-(At^{2}+Bt+C)}$,

odtud

${\displaystyle t^{2}-At^{2}=0}$

${\displaystyle -Bt=2At}$

${\displaystyle -C=B}$

tj.

${\displaystyle A=1}$

${\displaystyle B=-2}$

${\displaystyle C=2}$

Po dosazení vypočítaných konstant máme

${\displaystyle y_{p}=t^{2}-2t+2}$

Obecné řešení je

${\displaystyle y=y_{p}+y_{c}}$

kde ${\displaystyle y_{c}}$ je homogenní řešení ${\displaystyle y_{c}=c_{1}e^{-t}}$. Obecné řešení tedy je:

${\displaystyle y=t^{2}-2t+2+c_{1}e^{-t}}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Method of undetermined coefficients na anglické Wikipedii.

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 1. vyd. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1983.

• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
• Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3