Laplaceova transformace

Nechť je funkce f(t) spojitá (nebo alespoň po částech spojitá) a definovaná na intervalu <0,∞). Pak Laplaceova transformace L{f(t)} funkce f(t) je definována integrálním vztahem:

${\displaystyle L\{f(t)\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$

kde s je komplexní nezávisle proměnná. Obraz funkce f(t) při Laplaceově transformaci je funkce jedné komplexní proměnné s, často ji značíme F(s). Definičním oborem F je oblast konvergence integrálu (viz níže).

Funkci f(t) nazýváme originálem a funkci F(s) obrazem funkce f(t).

Inverzní Laplaceova transformace je dána vztahem:

${\displaystyle L^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)e^{st}\,ds={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\{c+iu;\,u\in \mathbb {R} \}}F(s)e^{st}\,ds}$,

kde c je libovolné reálné číslo ležící v oblasti konvergence F (pak celá přímka Re(s)=c, přes niž se integruje, leží v oblasti konvergence (viz níže)).

I v případě, že funkce f(t) je na celém intervalu <0,∞) spojitá a definovaná, nemusí její obraz existovat. Jestliže totiž má mít definiční integrál konečnou hodnotu, musí ${\displaystyle f(t)}$ splňovat kritérium konvergence ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }|f(t)|e^{-st}=0}$.

Například funkce ${\displaystyle f(t)=e^{t^{2}}}$ tuto podmínku nesplňuje, a proto její obraz neexistuje.

Pro danou funkci f se množina hodnot s, pro něž integrál v Laplaceově transformaci konverguje, nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže integrál konverguje pro f v bodě s₀, pak konverguje v každém bodě s, pro který Re(s) > Re(s₀). Oblast konvergence Laplaceovy transformace je tedy {s; Re(s) > R}, kde R je dáno chováním funkce f(t) pro t → ∞.

Pro každou funkci f takovou, že L{f} existuje, platí pro skoro všechna t (Lerchova věta):

${\displaystyle f(t)=L^{-1}\{L\{f(t)\}\}\,}$

Výhodou použití Laplaceovy transformace pro počítání diferenciálních rovnic je její vztah k derivaci:

${\displaystyle L\{f^{(n)}\}=s^{n}L\{f\}-s^{n-1}f(0_{+})-...-sf^{(n-2)}(0_{+})-f^{(n-1)}(0_{+})\,}$

Vzorec lze odvodit pomocí integrace per partes a platí právě tehdy, když jednotlivé derivace existují. Tento vztah umožňuje přímé začlenění počátečních podmínek do výpočtu řešení diferenciální rovnice.

Pro dané funkce f(t) a g(t), a jejich příslušné Laplaceovy transformace F(s) a G(s) následující tabulka shrnuje vlastnosti Laplaceovy transformace:

Vlastnosti jednostranné Laplaceovy transformace

	Vzor	Obraz	Komentář
Linearita	${\displaystyle af(t)+bg(t)\ }$	${\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }$	Obrazem lineární kombinace vzorů je lineární kombinace obrazů s týmiž koeficienty. Odvodit lze na základě definičního vztahu. Této vlastnosti se využívá při odvozování goniometrických a hyperbolických funkcí.
Derivování podle parametru	${\displaystyle tf(t)\ }$	${\displaystyle -F'(s)\ }$
Derivování originálu	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0_{+})\ }$	Získá se z integrování per partes. Odčítá se limita funkce zprava v počátku (počáteční podmínka).
Integrování originálu	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =u(t)*f(t)}$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	${\displaystyle u(t)}$ je Heavisideova funkce.
Podobnost	${\displaystyle f(at)\ }$	${\displaystyle {1 \over a}F\left({s \over a}\right)}$	a>0
Tlumení	${\displaystyle e^{at}f(t)\ }$	${\displaystyle F(s-a)\ }$
Konvoluce	${\displaystyle (f*g)(t)\ }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$
Posunutí (věta o translaci)	${\displaystyle f(t-a)\ }$	${\displaystyle e^{-as}F(s)\ }$	Posunutí proměnné t v originále o konstantu a>0 se projeví vynásobením obrazu výrazem ${\displaystyle e^{-as}\ }$

• Integrální transformace
• Fourierova transformace
• Z-transformace

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Laplaceova transformace na Wikimedia Commons
• Laplaceova transformace v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Učební text z FEL ČVUT o Laplaceově transformaci, Nováková,Hyánková,Průcha Archivováno 2. 10. 2006 na Wayback Machine