Gibbsův jev

Gibbsův jev se dotýká jak faktu, že Fourierův součet vykazuje překmit v místě skokové diskontinuity aproximované funkce, tak faktu, že tento překmit přidáváním dalších členů nezmizí.

Obrázky vpravo ukazují Gibbsův jev pro obdélníkový průběh (s amplitudou ${\displaystyle \pi /4}$), jehož Fourierův rozvoj je

${\displaystyle \sin(x)+{\frac {1}{3}}\sin(3x)+{\frac {1}{5}}\sin(5x)+\dotsb .}$

Přesněji je to funkce f, která se rovná ${\displaystyle \pi /4}$ mezi ${\displaystyle 2n\pi }$ a ${\displaystyle (2n+1)\pi }$ a ${\displaystyle -\pi /4}$ mezi ${\displaystyle (2n+1)\pi }$ a ${\displaystyle (2n+2)\pi }$ pro každé celé číslo n; tento obdélníkový průběh má skokové diskontinuity velikosti ${\displaystyle \pi /2}$ v celočíselných násobcích ${\displaystyle \pi }$.

Je patrné, že s rostoucím počtem členů se chyba aproximace snižuje co do šířky a energie, ale konverguje k pevné výšce. Výpočet pro obdélníkový průběh (viz Zygmund, kap. 8.5, nebo výpočty na konci tohoto článku) dává explicitní vzorec pro limitu velikosti chyby. Ukazuje se, že Fourierova řada převyšuje výšku ${\displaystyle \pi /4}$ obdélníkového průběhu o

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\,dt-{\frac {\pi }{4}}={\frac {\pi }{2}}\cdot (0.089489872236\dots )}$([5])

tj. přibližně 9 % velikosti skoku. Obecněji, pro jakýkoli skok velikosti a funkce po částech spojitě derivovatelné, bude n-tý částečný součet Fourierovy řady (pro velmi velké n) vykazovat překmit velikosti přibližně ${\displaystyle a\cdot (0.089489872236\dots )}$ na jedná straně a podkmit o stejnou hodnotu na opačná straně; to znamená, že „skok“ částečného součtu Fourierovy řady bude o 18% větší než skok původní funkce. V místě samotné diskontinuity bude částečný součet Fourierovy řady konvergovat k průměru hodnot funkce na obou stranách skoku (bez ohledu na to, jaká je skutečná hodnota původní funkce v tomto bodě). Hodnota

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\ dt=(1.851937051982\dots )={\frac {\pi }{2}}+\pi \cdot (0.089489872236\dots )}$([6])

se někdy nazývá Wilbrahamova–Gibbsova konstanta.

Nechť ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$ je po částech spojitě derivovatelná funkce, která je periodická s nějakou periodou ${\displaystyle L>0}$. Předpokládejme, že v nějakém bodě ${\displaystyle x_{0}}$ se levá limita ${\displaystyle f(x_{0}^{-})}$ a pravá limita ${\displaystyle f(x_{0}^{+})}$ funkce ${\displaystyle f}$ liší o nenulovou hodnotu ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})=a\neq 0.}$

Pro každé kladné celé číslo N ≥ 1 nechť S_N f je N-tý částečný součet Fourierovy řady

${\displaystyle S_{N}f(x):=\sum _{-N\leq n\leq N}{\widehat {f}}(n)e^{\frac {2i\pi nx}{L}}={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\right),}$

kde Fourierova koeficienty ${\displaystyle {\widehat {f}}(n),a_{n},b_{n}}$ jsou dané obvyklými vzorci

${\displaystyle {\widehat {f}}(n):={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(x)e^{-2i\pi nx/L}\,dx}$

${\displaystyle a_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\,dx}$

${\displaystyle b_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\,dx.}$

Pak máme

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{+})+a\cdot (0.089489872236\dots )}$

a

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}-{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{-})-a\cdot (0.089489872236\dots )}$

ale

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f(x_{0})={\frac {f(x_{0}^{-})+f(x_{0}^{+})}{2}}.}$

Obecněji, jestliže ${\displaystyle x_{N}}$ je libovolná posloupnost reálných čísel, která konverguje k ${\displaystyle x_{0}}$ pro ${\displaystyle N\to \infty }$, a jestliže velikost skoku a je kladná, pak

${\displaystyle \limsup _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\leq f(x_{0}^{+})+a\cdot (0.089489872236\dots )}$

a

${\displaystyle \liminf _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\geq f(x_{0}^{-})-a\cdot (0.089489872236\dots ).}$

Pokud je velikost skoku a záporná, musíme zaměnit limes superior s limes inferior a zaměnit symboly ≤ a ≥ ve výše uvedených nerovnostech.

Funkce sinc je impulsní odezva ideální dolní propusti. Škálování funkci zužuje a odpovídajícím způsobem zvyšuje velikost (který zde není uveden), ale neomezuje velikost podkmitu, který je integrálem chvostu (zbytku řady).

Z perspektivy zpracování signálu je Gibbsův jev skokovou odezvou dolní propusti a oscilacím se říká překmit nebo prstencové artefakty. Ořezání Fourierovy transformace signálu na reálné ose nebo Fourierovy řady periodického signálu (nebo ekvivalentně signálu na kružnice) odpovídá odfiltrování vyšších frekvencí ideálním dolnopropustným filtrem (horní zádrž). To lze reprezentovat konvolucí původního signál s impulsní odezvou filtru (nazývané také jádro) reprezentovanou je funkce sinc funkcí sinc. Gibbsův jev lze tedy chápat jako výsledek konvoluce Heavisideova funkce (pokud nepožadujeme periodičnost) nebo obdélníkového průběhu (pro periodický průběh) s funkcí sinc: oscilace funkce sinc způsobuje zvlnění na výstupu.

Sinusintegrál vykazuje Gibbsův jev pro krok funkce na reálné ose.

Při konvoluci s Heavisideovou funkcí je výsledná funkce právě integrálem funkce sinc, sinusintegrál; pro obdélníkový průběh není popis takový, jak je jednoduše uvedeno. Pro krokovou funkci je tedy velikost podkmitu přesně integrálem levého chvostu, když integrujeme k první záporné nule: pro normalizovaný sinc jednotkové vzorkovací periody, to je ${\displaystyle \int _{-\infty }^{-1}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx.}$ Podle toho má překmit stejnou velikost: integrál pravého chvostu nebo (což má stejnou velikost), rozdíl mezi integrálem od minus nekonečna k první kladné nule, zmenšený o 1 (hodnota bez překmitu).

Překmit a podkmit lze chápat takto: jádra jsou obecně normalizovaná, aby měla integrál 1, takže vedou k zobrazení konstantní funkce na konstantní funkci – jinak mají zisk. Hodnota konvoluce v bodě je lineární kombinací vstupní signál, s koeficienty (váhy) hodnoty jádra. Pokud je jádro nezáporné, například pro gaussovské jádro, pak hodnota filtrovaného signálu bude konvexní kombinací vstupních hodnot (koeficienty (jádro) integrate až 1 a jsou nezáporný) a bude tedy někde mezi minimálním a maximálním vstupním signálem – to nebudou podkmit nebo překmit. Pokud, na druhou stranu, jádro předpokládá záporné hodnoty, jako například funkce sinc, pak hodnota filtrovaného signálu bude místo toho affinní kombinací vstupních hodnot a může padnout mimo rozsah od minimálního po maximální vstupní signál, což způsobí v podkmit a překmit, kvůli Gibbsovu jevu.

Použití delšího rozvoje a ořezání vyšších frekvencí odpovídá ve frekvenční doméně rozšíření pásma ideální dolní propusti, což v časové doméně odpovídá zúžení funkce sinc a zvýšení jeho výšky o stejný faktor, ponechává integrály mezi odpovídajícím body nezměněné. To je obecná vlastnost Fourierovy transformace: rozšíření v jedné doméně odpovídá zúžení a rostoucí výška v druhé. To vede k oscilaci v sinc je užší a vyšší a, ve filtrované funkce (po konvoluce), dává oscilace, které jsou užší a tedy mají menší plochu, ale neomezuje velikost: oříznutí pro jakoukoli konečnou frekvenci vede k funkci sinc, ale úzké, se stejným integrálem chvostu. To vysvětluje přetrvávání překmitu a podkmitu.

• 
  Oscilace lze interpretovat jako konvoluci s funkcí sinc.
• 
  Použití více členů řady vede k užší ale vyšší funkci sinc, se stejnou velikostí integrálu chvostu, což dává vyšší frekvenci oscilací, ale jejich velikost se nesnižuje.

Vlastnosti Gibbsova jevu jsou interpretovány takto:

• podkmit je způsoben impulsní odezvou, která má záporný integrál chvostu, což je možné, protože funkce nabývá záporných hodnot;
• překmit vyrovnává podkmit díky symetrii (celkový integrál se při filtrování nemění);
• přetrvávání oscilací je způsobeno tím, že zvětšující se ořez zužuje impulsní odezvu, ale neomezuje její integrál – oscilace se tedy přesouvá směrem k diskontinuitě, ale její velikost se nesnižuje.

Animace aditivní syntézy obdélníkové vlny s rostoucím počtem harmonických. Gibbsův jev je dobře viditelný zvláště pro velký počet harmonických.

V případě obdélníkového průběhu s periodou L ${\displaystyle 2\pi }$, diskontinuita ${\displaystyle x_{0}}$ je v bodě nula a skok má velikost ${\displaystyle \pi /2}$. Pro jednoduchost budeme uvažovat pouze případ, kdy N je sudé (případ lichého N je velmi podobný). Pak máme

${\displaystyle S_{N}f(x)=\sin(x)+{\frac {1}{3}}\sin(3x)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin((N-1)x).}$

Substitucí ${\displaystyle x=0}$ získáme

${\displaystyle S_{N}f(0)=0={\frac {-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{4}}}{2}}={\frac {f(0^{-})+f(0^{+})}{2}}}$

jak je vyžadováno výše. Nyní vyjádříme

${\displaystyle S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right).}$

Pokud zavedeme normalizovanou funkci sinc, ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)\,}$, můžeme tento vztah přepsat jako

${\displaystyle S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)={\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{N}}\right)+{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {3}{N}}\right)+\cdots +{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {(N-1)}{N}}\right)\right].}$

Ale výraz v hranatých závorkách je aproximace integrálu ${\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\ dx}$ Riemannovou sumou (přesněji jde o aproximaci středovým pravidlem s krokem ${\displaystyle 2/N}$). Protože funkce sinc je spojitá, tato aproximace konverguje ke skutečnému integrálu pro ${\displaystyle N\to \infty }$. Tedy máme

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\,dx\\[8pt]&={\frac {1}{2}}\int _{x=0}^{1}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,d(\pi x)\\[8pt]&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(t)}{t}}\ dt\quad =\quad {\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\cdot (0.089489872236\dots ),\end{aligned}}}$

což bylo vyžadované v předchozí části. Podobný výpočet ukazuje

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(-{\frac {2\pi }{2N}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}\cdot (0.089489872236\dots ).}$

Při zpracování signálu je Gibbsův jev nežádoucí, protože způsobuje nežádoucí efekty, jmenovitě ořezání z překmitu a podkmitu a prstencové artefakty z oscilace. U dolní propusti lze tyto jevy redukovat nebo eliminovat pomocí různých dolnopropustných filtrů.

V obrazech získaných magnetickou rezonancí způsobuje Gibbsův jev prstencové artefakty poblíž rozhraní oblastí, které se významně liší intenzitou signálu. To je velkým problémem u zobrazování míchy, kde se vlivem Gibbsova jevu mohou objevovat útvary podobající se syringomyelii.

Gibbsův jev se projevuje jako křížový vzorek při diskrétní Fourierově transformaci obrazu,[18] kde většina obrázků (např. mikrofotografií nebo fotografií) má ostrý přechod mezi horní a spodní nebo levou a pravou částí obrázku. Pokud jsou ve Fourierově transformaci vynuceny periodické okrajové podmínky, tato skoková diskontinuita je reprezentována kontinuem frekvencí podle os v prostoru převrácených hodnot (tj. křížový vzorek intenzity ve Fourierově transformaci).