Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence

Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence. Předpokládejme, že {f_n} je posloupnost reálných nebo komplexních funkcí definovaných na množině A a že existuje posloupnost kladných čísel {M_n} taková, že

${\displaystyle \forall n\geq 1,\forall x\in A:\ |f_{n}(x)|\leq M_{n},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}<\infty }$

Pak řada

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

konverguje absolutně a stejnoměrně na A.

Poznámka: Výsledek se často používá v kombinaci s limitní větou pro stejnoměrnou konvergenci. Společně říkají, že pokud kromě výše uvedených podmínek je množina A topologickým prostorem a funkce f_n jsou spojité na A, pak řada konverguje ke spojité funkci.

Obecnější verze Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence platí, jestliže cílová množina funkcí {f_n} je jakýkoli Banachův prostor, v tomto případě výraz

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$

může být nahrazen výrazem

${\displaystyle \|f_{n}(x)\|\leq M_{n}}$,

kde ${\displaystyle \|\cdot \|}$ je norma na Banachově prostoru. Pro příklad použití tohoto kritéria na Banachův prostor viz článek Fréchetova derivace.

Uvažujme posloupnost funkcí

${\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}$

Protože řada ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$ konverguje a M_n ≥ 0 pro každé n, pak podle Cauchyova kritéria konvergence

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists N:\forall n>m>N:\sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .}$

Pro zvolené N platí

${\displaystyle \forall x\in A:\forall n>m>N}$

${\displaystyle \left|S_{n}(x)-S_{m}(x)\right|=\left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=m+1}^{n}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .}$

Tedy posloupnost částečných součtů řady konverguje stejnoměrně. Z definice proto řada ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)}$ konverguje stejnoměrně.

Pozn: Nerovnost (1) vyplývá z trojúhelníkové nerovnosti.