Fourierova transformace

Fourierova transformace ${\displaystyle S(\omega )}$ funkce ${\displaystyle s(t)}$ je definována integrálním vztahem

${\displaystyle S(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }s(t){\mathrm {e} }^{-{\mathrm {i} }\omega t}\,{\mathrm {d} }t}$

Funkci ${\displaystyle s(t)}$ vypočteme z ${\displaystyle S(\omega )}$ inverzní Fourierovou transformací

${\displaystyle s(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }S(\omega ){\mathrm {e} }^{{\mathrm {i} }\omega t}\,{\mathrm {d} }\omega }$

Nevlastní integrály chápeme ve smyslu Cauchyovy hlavní hodnoty, tj.

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }[.]\,{\mathrm {d} }=\lim _{T\to \infty }\int \limits _{-T}^{T}[.]\,{\mathrm {d} }}$

Dvojice ve Fourierově transformaci se nazývají originál (zde ${\displaystyle s(t)}$) a obraz (zde ${\displaystyle S(\omega )}$). Vztah mezi originálem a obrazem vyjadřujeme zápisem

${\displaystyle S(\omega )={\mathcal {F}}[s(t)]}$ a ${\displaystyle s(t)={\mathcal {F}}^{-1}[S(\omega )]}$.

V technické oblasti je ${\displaystyle \omega }$ úhlová frekvence, ${\displaystyle S(\omega )}$ představuje spektrum signálu ${\displaystyle s(t)}$.

Spektrum je komplexní veličina a lze vyjádřit ve tvaru ${\displaystyle S(\omega )=\left|S(\omega )\right|{\mathrm {e} }^{{\mathrm {i} }\mathrm {arg} \,S(\omega )}}$. Velikost ${\displaystyle \left|S(\omega )\right|}$ nazýváme amplitudové spektrum a úhel ${\displaystyle {\mbox{arg}}\,S(\omega )}$ fázové spektrum signálu.

Lineární kombinaci signálů odpovídá lineární kombinace jejich spekter

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\sum _{i}c_{i}s_{i}(k)\right]=\sum _{i}c_{i}{\mathcal {F}}[s_{i}(k)]}$

Má-li signál ${\displaystyle s(t)}$ spektrum ${\displaystyle S(\omega )}$, má signál ${\displaystyle s(at),a\neq 0}$ spektrum

${\displaystyle {\frac {1}{\left|a\right|}}S\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$.

Tedy rozšíření signálu v časové oblasti odpovídá zúžení ve spektrální oblasti a naopak.

Má-li signál ${\displaystyle s(t)}$ spektrum ${\displaystyle S(\omega )}$, má signál zpožděný o veličinu ${\displaystyle a}$ spektrum

${\displaystyle {\mathcal {F}}[s(t-a)]={\mathrm {e} }^{-{\mathrm {i} }\omega a}S(\omega )}$

Amplitudové spektrum posunutého signálu se nemění, mění se jen fázové spektrum a to přímo úměrně zpoždění a kmitočtu. Na rozdíl od věty o translaci v Laplaceově transformaci platí věta pro libovolné a, tedy i pro ${\displaystyle a<0}$.

Je-li signál reálný, pak pro jeho spektrum platí:

• amplitudové spektrum je sudou funkcí[1]
• fázové spektrum je lichou funkcí[1]
• spektrum sudého signálu je sudou reálnou funkcí
• spektrum lichého signálu je lichou ryze imaginární funkcí

Fourierova transformace ${\displaystyle S(\Omega )}$ posloupnosti ${\displaystyle s(k)}$ je definována vztahem

${\displaystyle S(\Omega )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }s(k){\mathrm {e} }^{-{\mathrm {i} }\Omega k}}$

Posloupnost ${\displaystyle s(k)}$ vypočteme z ${\displaystyle S(\Omega )}$ inverzní Fourierovou transformací

${\displaystyle s(k)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }S(\Omega ){\mathrm {e} }^{{\mathrm {i} }\Omega k}\,{\mathrm {d} }\Omega }$

Někteří autoři označují tuto transformaci DtFT (discrete-time Fourier transformation), aby ji odlišili od Fourierovy transformace spojitého signálu. Zde nebudeme značením nijak odlišovat Fourierovu transformaci spojitého a diskrétního signálu. Vztah mezi signálem a jeho spektrem budeme tedy značit

${\displaystyle S(\Omega )={\mathcal {F}}[s(k)]}$ a

${\displaystyle s(k)={\mathcal {F}}^{-1}[S(\Omega )]}$.

Spektrum diskrétního signálu se od spektra spojitého signálu liší tím, že je periodické s periodou ${\displaystyle 2\pi }$.