Vlnková transformace

Vlnková transformace spojitého signálu ${\displaystyle f}$ je definována jako

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\operatorname {W} _{\psi }\,f\right](a,b)&=\langle f,\psi _{a,b}\rangle \\&=\int _{-\infty }^{+\infty }\!f(t)\,\psi _{a,b}^{\ast }(t)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }\!f(t)\,{\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi ^{\ast }\left({{t-b} \over {a}}\right)\,\mathrm {d} t\\&=f*\psi _{a}^{\ast }(b)\\&={\frac {1}{2\pi }}\langle {\hat {f}},{\hat {\psi }}_{a,b}\rangle ,\end{aligned}}}$

kde

• ${\displaystyle \psi \,}$ je tzv. mateřská vlnka a ${\displaystyle \psi _{a,b}\,}$ jejím roztažením a posunutím vytvořené vlnky, které tvoří jádro transformace,
• ${\displaystyle a\,}$ značí měřítko (roztažení, dilataci) vlnky,
• ${\displaystyle b\,}$ značí časový posun vlnky,
• zobrazení ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\rightarrow \mathbb {C} }$ značí skalární součin prostoru ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$,
• operátor ${\displaystyle *\,}$ označuje spojitou konvoluci,
• symbol ${\displaystyle ^{\ast }}$ u ${\displaystyle \psi ^{\ast }}$ označuje komplexně sdruženou funkci k ${\displaystyle \psi }$,
• ${\displaystyle \psi _{a}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{-t} \over {a}}\right)}$ je spojitý filtr, který odpovídá vlnce ${\displaystyle \psi \,}$ pro dané měřítko ${\displaystyle a\,}$,
• ${\displaystyle {\hat {f}}\,}$, resp. ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{a,b}\,}$ značí Fourierovu transformaci ${\displaystyle f\,}$, resp. ${\displaystyle \psi _{a,b}\,}$,
• dále ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{+},b\in \mathbb {R} \,}$.

Ze vztahů je patrné, že vlnkovou transformaci je možno chápat jako skalární součiny s bázemi ${\displaystyle \psi _{a,b}\,}$, jako integrální transformaci s jádrem ${\displaystyle \psi _{a,b}^{\ast }\,}$ nebo jako konvoluce s funkcemi ${\displaystyle \psi _{a}^{\ast }\,}$. Je také možný výpočet ve frekvenční oblasti.

Transformace je vysoce redundantní.

V případě, že koeficienty

${\displaystyle a={a_{0}}^{m},b={a_{0}}^{m}nb_{0}}$,

kde

• ${\displaystyle a_{0}>1,b_{0}>0\,}$ a
• ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} }$ jsou celočíselné konstanty,

označuje se jádro transformace jako vlnkové rámce (wavelet frames, WF). Transformace tedy již není spojitá ale diskrétní. Jinými slovy je diskretizována polorovina ${\displaystyle (a,b)}$. Transformace je stále vysoce redundantní.

O vlnkových řadách (wavelet series, WS; analogicky k Fourierovým řadám) se hovoří v případě, že se z transformace odstraní nadbytečná informace. Jádro transformace pak tvoří bázi.

Nejčastěji se používá tzv. dyadické vzorkování ${\displaystyle a_{0}=2}$, ${\displaystyle b_{0}=1}$, tedy

${\displaystyle a=2^{m},b=n2^{m}\,}$.

Dyadická vlnková transformace má tvar

${\displaystyle \left[\operatorname {W} _{\psi }\,f\right](m,n)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!{f(t)\psi ^{\ast }\left(2^{-m}t-n\right)}\,\mathrm {d} t\,}$,

kde

• ${\displaystyle m}$ značí frekvenční měřítko,
• ${\displaystyle n}$ časové posunutí.

Dyadickou transformaci je možné[2] přepsat jako

${\displaystyle \left[\operatorname {W} _{\psi }\,f\right](m,n)=\int _{-\infty }^{+\infty }\!{f(t)h_{m}\left(2^{m}n-t\right)}\,\mathrm {d} t\,}$,

kde

• ${\displaystyle h_{m}}$ je impulzní charakteristika spojitého filtru, který odpovídá vlnce ${\displaystyle {\psi _{m}}^{\ast }}$ pro dané ${\displaystyle m}$.

Analogicky je definována dyadická vlnková transformace s diskrétním časem (diskrétního signálu) jako

${\displaystyle y_{m}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f[k]h_{m}[2^{m}n-k]}$.

Pro stupeň rozkladu ${\displaystyle m=1}$ můžeme psát pro ${\displaystyle g=h_{1}}$:

${\displaystyle y_{\mathrm {high} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{f[k]g[2n-k]}}$ a

${\displaystyle y_{\mathrm {low} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{f[k]h[2n-k]}}$, kde ${\displaystyle h}$ je zrcadlový filtr k ${\displaystyle g}$ (reprezentuje vlastně všechny ostatní vlnky). Filtr ${\displaystyle h}$ odpovídá měřítkové funkci ${\displaystyle {\phi _{m}}^{\ast }}$ pro dané ${\displaystyle m}$.

Tento krok tvoří jeden stupeň diskrétní vlnkové transformace podle Mallatova schématu.

Obecně vzato, vlnky jsou matematicky konstruovány, aby měly vhodné vlastnosti například pro zpracování signálů. Vlnková transformace je v podstatě konvoluce určité vlnky (nebo jejich skupiny) s analyzovaným signálem.

Představme si například vlnku, která má frekvenci tónu střední C a krátké trvání odpovídající osminové notě. Provedeme-li v pravidelných intervalech konvoluci takovéto vlnky se signálem – nahrávkou písně – pak nám výsledky této konvoluce napoví, kdy byla nota „osminové střední C“ v nahrávce použita.

Matematicky vzato, k vysoké korelaci vlnky se signálem (vysokému korelačnímu koeficientu) dojde v těch místech (intervalech), kde signál obsahuje informaci o podobné frekvenci, tedy tam, kde je námi zvolené vlnce nejpodobnější. Tento koncept je jádrem mnoha aplikací vlnkové transformace.

• MALLAT, Stéphane. A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way. With contributions from Gabriel Peyré. 3. vyd. [s.l.]: Academic Press, c2009 xx, 805 s. ISBN 9780123743701. (anglicky)
• ADDISON, Paul S. The Illustrated Wavelet Transform Handbook: Introductory Theory and Applications in Science, Engineering, Medicine and Finance. New York: Taylor & Francis, 2002. xiii, 353 s. ISBN 9780750306928. (anglicky)
• DAUBECHIES, Ingrid. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia, Pennsylvania: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. xix, 357 s. (CBMS-NSF regional conference series in applied mathematics; sv. 61). Dostupné online. ISBN 0898712742. (anglicky)

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Vlnková transformace na Wikimedia Commons