Sigma aproximace

Lanczosova myšlenka je utlumit Fourierovy koeficienty vysokého řádu, které způsobují lokální divergenci řady. Studuje tedy případy, kdy se derivace Fourierovy řady může lokálně výrazně měnit. Pro částečný součet funkce rozvinuté na Fourierovu řadu tvaru

${\displaystyle f_{m}(x)=\sum _{k=-(m-1)}^{m-1}c_{k}{\rm {e}}^{\mathrm {i} kx},}$

definuje

${\displaystyle \rho _{m}(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }c_{m+k}{\rm {e}}^{\mathrm {i} kx}.}$

Pak lze zbytek Fourierovy řady zapsat ve tvaru

${\displaystyle R_{m}(x)=f(x)-f_{m}(x)={\rm {e}}^{\mathrm {i} mx}\rho _{m}(x)+{\rm {e}}^{-\mathrm {i} mx}\rho _{-m}(x).}$

Lanczos si všiml, že v obecném případě má ${\displaystyle \rho _{m}(x)}$ tvar hladké nosné modulované vysokou frekvencí, takže derivace zbytku je

${\displaystyle R_{m}'(x)=\mathrm {i} m({\rm {e}}^{\mathrm {i} mx}\rho _{m}(x)-{\rm {e}}^{-\mathrm {i} mx}\rho _{-m}(x))+{\rm {e}}^{\mathrm {i} mx}\rho _{m}'(x)+{\rm {e}}^{-\mathrm {i} mx}\rho _{-m}'(x),}$

což způsobuje, že při velkých hodnotách zbytek řady nekonverguje „dost rychle“. Proto definuje upravený diferenciální operátor:

${\displaystyle \mathrm {D} _{m}f(x)={\frac {f\left(x+{\frac {\pi }{m}}\right)-f\left(x-{\frac {\pi }{m}}\right)}{\frac {2\pi }{m}}},}$

který dobře konverguje k operátoru derivace pro velká ${\displaystyle m}$, což dává

${\displaystyle \mathrm {D} _{m}R_{m}(x)=-{\rm {e}}^{\mathrm {i} mx}\mathrm {D} _{m}\rho _{m}(x)-{\rm {e}}^{-\mathrm {i} mx}\mathrm {D} _{m}\rho _{-m}(x),}$

a funkce ${\displaystyle \rho _{m}(x)}$, ${\displaystyle \rho _{-m}(x)}$ jsou dostatečně hladké, takže hodnoty jejich derivací nemají velký vliv na chybu aproximace. Všimneme-li si, že

${\displaystyle \mathrm {D} _{m}({\rm {e}}^{\mathrm {i} kx})={\frac {\sin({\frac {\pi k}{m}})}{\frac {\pi }{m}}}\times \mathrm {i} k{\rm {e}}^{\mathrm {i} kx},}$

vidíme, že použití tohoto diferenciálního operátoru odpovídá vynásobení Fourierových koeficientů faktorem σ.