Bodová konvergence

Předpokládejme, že ${\displaystyle (f_{n})}$ je posloupnost funkcí, které mají stejný definiční obor i obor hodnot. Oborem hodnot je obvykle množina reálných čísel, ale obecně to může být jakýkoli metrický prostor. Posloupnost ${\displaystyle (f_{n})}$ konverguje bodově k funkci ${\displaystyle f}$, píšeme

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f\ {\mbox{bodově}},}$

právě tehdy, když

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)}$

pro každé ${\displaystyle x}$ z definičního oboru. Funkce ${\displaystyle f}$ se nazývá bodová limita funkce ${\displaystyle f_{n}}$.

Bodová limita posloupnosti spojitých funkcí nemusí být spojitá: spojité funkce ${\displaystyle \sin ^{n}x}$ (vyznačené zeleně) bodově konvergují k funkci vyznačené červeně, které není spojitá v bodě ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$.

Bodová konvergence je slabší než stejnoměrná konvergence, kterou zapisujeme

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f\ {\mbox{stejnoměrně}}}$

což znamená, že

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|;x\in A\,\}=0,}$

kde ${\displaystyle A}$ je společný definiční obor funkce ${\displaystyle f}$ a funkcí ${\displaystyle f_{n}}$. Jde o silnější podmínku, než je podmínka bodové konvergence: každá stejnoměrně konvergentní posloupnost je bodově konvergentní ke stejné limitní funkci, ale ne všechny bodově konvergentní posloupnosti jsou stejnoměrně konvergentní. Pokud například ${\displaystyle f_{n}:\langle 0,1)\rightarrow \langle 0,1)}$ je posloupnost funkcí definovaná vztahem ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$, pak ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=0}$ bodově na intervalu ${\displaystyle \langle 0,1)}$, ale ne stejnoměrně.

Bodová limita posloupnosti spojitých funkcí může být nespojitá funkce, ale pouze pokud konvergence není stejnoměrná. Například

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\cos(\pi x)^{2n}}$

nabývá hodnoty 1, pokud ${\displaystyle x}$ je celé číslo a 0 jinak; funkce je tedy nespojitá pro každé ${\displaystyle x}$, které je celým číslem.

Pro koncept bodové konvergence stačí, aby hodnoty funkcí f_n byly prvky libovolného topologického prostoru. Pro stejnoměrnou konvergenci je nutná silnější podmínka, obor hodnot funkcí musí být metrický prostor nebo obecněji uniformní prostor.

Bodová konvergence je totéž jako konvergence v součinové topologii na prostoru Y^X, kde X je definiční obor a Y je obor hodnot. Pokud obor hodnot Y je kompaktní, pak podle Tychonoffovy věty, je prostor Y^X také kompaktní.

V teorii míry mluvíme o konvergenci skoro všude posloupnosti měřitelných funkcí definovaných na měřitelném prostoru. To znamená bodovou konvergenci skoro všude, tj. na nějaké podmnožině definičního oboru, jejíž doplněk má míru nula. Jegorovova věta říká, že bodová konvergence skoro všude na množině konečné míry implikuje stejnoměrnou konvergenci na nepatrně menší množině.

Bodová konvergence téměř všude na prostoru funkcí na prostoru s mírou nedefinuje strukturu topologie na prostoru měřitelných funkcí na prostoru s mírou (i když to je konvergenční struktura). Důvodem je, že pokud v topologickém prostoru má každá podposloupnost posloupnosti vlastní podposloupnost se stejnou limitou, musí i posloupnost sama konvergovat k této limitě.

Uvažujeme však posloupnost funkcí takzvaných „cválajících obdélníků“. Nechť N = Floor(log₂ n) a k = n mod 2^N. Nechť

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\frac {k}{2^{N}}}\leq x\leq {\frac {k+1}{2^{N}}}\\0,&{\text{jinak}}.\end{cases}}.}$

Pak jakákoli podposloupnost posloupnosti (f_n)_n má pod-podposloupnost, která sama konverguje skoro všude k nule, například podposloupnost funkcí, které nemají nulovou hodnotu v bodě x=0. Ale původní posloupnost nekonverguje bodově k nule v žádném bodě. Proto na rozdíl od konvergence v míře a konvergence L^p není bodová konvergence skoro všude konvergencí žádné topologie na prostoru funkcí.