Rungeho jev

Rungeho jev je důsledkem dvou vlastností tohoto problému:

• Hodnota derivací n-tého řádu této funkce rychle roste se zvětšujícím se n.
• Ekvidistance mezi body vede k Lebesgueově konstantě, která rychle roste se zvětšujícím se n.

Jev je graficky dobře viditelný, protože obě vlastnosti se kombinují a zvyšují řád oscilace.

Chyba mezi vytvořující funkcí a interpolačním polynomem řádu n je

${\displaystyle f(x)-P_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})}$

pro nějaké ${\displaystyle \xi }$ z intervalu (−1, 1). Tedy

${\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}|f(x)-P_{n}(x)|\leq \max _{-1\leq x\leq 1}{\frac {\left|f^{(n+1)}(x)\right|}{(n+1)!}}\max _{-1\leq x\leq 1}\prod _{i=0}^{n}|x-x_{i}|}$.

Označíme-li symbolem ${\displaystyle w_{n}(x)}$ nodální funkci

${\displaystyle w_{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})}$

a nechť ${\displaystyle W_{n}}$ je maximální řád funkce ${\displaystyle w_{n}}$:

${\displaystyle W_{n}=\max _{-1\leq x\leq 1}|w_{n}(x)|}$.

Je jednoduché dokázat, že pro ekvidistantní uzly

${\displaystyle W_{n}\leq n!h^{n+1}}$

kde ${\displaystyle h=2/n}$ je velikost kroku.

Pokud navíc předpokládáme, že (n+1)-tá derivace funkce ${\displaystyle f}$ je omezená:

${\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}|f^{(n+1)}(x)|\leq M_{n+1}}$.

Proto

${\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}|f(x)-P_{n}(x)|\leq M_{n+1}{\frac {h^{n+1}}{(n+1)}}}$.

Ale řád (n+1)-té derivace Rungeho funkce se zvyšuje s rostoucím n, protože ${\displaystyle M_{n+1}\leq (n+1)!5^{n+1}}$. Důsledkem je, že výsledná horní mez ${\displaystyle (10/n)^{n+1}n!}$ se blíží k nekonečnu, když n se blíží k nekonečnu.

Fakt, že horní mez chyby jde k nekonečnu, i když je často používán pro vysvětlení Rungeho jevu, samozřejmě neznamená, že samotná chyba také diverguje s rostoucím n.

Oscilaci lze zmírnit použitím zahušťováním uzlů na okrajích intervalu. Například na intervalu <−1,1> lze použít body s asymptotickou hustotou danou vzorcem[3] ${\displaystyle 1/{\sqrt {1-x^{2}}}}$. Standardním příkladem takové sady uzlů jsou Čebyševovy uzly, u nichž maximální chyba v aproximaci Rungeho funkce zaručeně klesá s rostoucím řádem polynomu. Jev ukazuje, že polynomy vysokého stupně jsou pro interpolaci s ekvidistantní uzly obecně nevhodné.

Když převzorkování^[ujasnit] na rozumné množině uzlů není proveditelné, je možné vyzkoušet S-Rungeho algoritmus.[4] Při tomto přístupu je původní množina uzlů mapovaná na množinu Čebyševových uzlů, poskytujících stabilní polynomiální rekonstrukci. Zvláštností této metody je, že není potřeba převzorkování na mapovaných uzlech, které se také nazývají umělé uzly. Na github je implementace tohoto postupu v jazyce Python.

Popsanému problému se lze vyhnout použitím spline křivek, které jsou po částech polynomiální. Pro zmenšení interpolační chyby můžeme místo zvyšování stupně použitého polynomu zvyšovat počet polynomiálních částí, které se používají pro konstrukci spline křivky.

Můžeme také proložit polynom vyššího stupně (například pro ${\displaystyle n}$ bodů použít polynom řádu ${\displaystyle N=n^{2}}$ místo ${\displaystyle n+1}$) a použít takový interpolační polynom, jehož první (nebo druhá) derivace má minimální ${\displaystyle L^{2}}$ normu.

Podobným přístupem je minimalizace omezené verze vzdálenosti ${\displaystyle L^{p}}$ mezi m-tou derivací polynomu a střední hodnotou jeho m-té derivace. Explicitně pro minimalizaci

${\displaystyle V_{p}=\int _{a}^{b}\left|{\frac {\operatorname {d} ^{m}P_{N}(x)}{\operatorname {d} x^{m}}}-{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}{\frac {\operatorname {d} ^{m}P_{N}(z)}{\operatorname {d} z^{m}}}\operatorname {d} z\right|^{p}\operatorname {d} x-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\,\left(P_{N}(x_{i})-f(x_{i})\right),}$

kde ${\displaystyle N\geq n-1}$ a ${\displaystyle m<N}$, vzhledem ke koeficientům polynomu a Lagrangeovým multiplikátorům ${\displaystyle \lambda _{i}}$. Pro ${\displaystyle N=n-1}$ omezující rovnice generované Lagrangeovými multiplikátory omezují ${\displaystyle P_{N}(x)}$ na minimální polynom, který prochází všemi ${\displaystyle n}$ body. Na opačném konci ${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }P_{N}(x)}$ se bude blížit tvaru velmi podobnému po částech polynomiální aproximaci. Speciálně pro ${\displaystyle m=1}$ se ${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }P_{N}(x)}$ blíží po částech lineárním polynomům, tj. propojuje interpolační body úsečkami.

Při procesu minimalizace ${\displaystyle V_{p}}$ má ${\displaystyle p}$ za úkol omezovat velikost odchylek od střední hodnoty. Čím je ${\displaystyle p}$ větší, tím více jsou penalizovány větší odchylky v porovnání s malými. Hlavní výhodou Eukleidovské normy ${\displaystyle p=2}$ je, že umožňuje analytické řešení a zaručuje, že ${\displaystyle V_{p}}$ bude mít pouze jediné minimum. Pro ${\displaystyle p\neq 2}$ může ve ${\displaystyle V_{p}}$ existovat více minim, kvůli čemuž je obtížné zjistit, zda nalezené minimum je globálním minimem.

Další metodou je proložení polynomu nižšího stupně použitím metody nejmenších čtverců. Obecně při použití ${\displaystyle m}$ ekvidistantních bodů, kde ${\displaystyle N<2{\sqrt {m}}}$ pak aproximace metodou nejmenších čtverců ${\displaystyle P_{N}(x)}$ je dobře podmíněná.[5]

Bernsteinovy polynomy umožňují stejnoměrně aproximovat každou spojitou funkci na uzavřeném intervalu. Tato metoda je však poněkud výpočetně náročná.^[zdroj?]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Runge's phenomenon na anglické Wikipedii.

• Srovnejte s Gibbsovým jevem pro sinusové bázové funkce
• Taylorova řada
• Čebyševovy uzly
• Stoneova–Weierstrassova věta