Soustava lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic patří v matematice k nejstarším problémům a má mnoho aplikací, například při odhadování, v předpovědích a v lineárním programování.

Teorie soustav lineárních rovnic je významná část lineární algebry, předmětu, který je používán ve většině částí moderní matematiky. Výpočtové algoritmy pro nalezení řešení jsou důležitou součástí numerické lineární algebry a hrají významnou roli ve strojírenství, fyzice, chemii, informatice a ekonomii. Soustava nelineárních rovnic může být často aproximována lineární soustavou rovnic (viz linearizace ), což je užitečná technika při vytváření matematického modelu nebo počítačové simulace nebo komplexního systému.

Obecně může být soustava m lineárních rovnic s n proměnnými zapsána jako

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

    :

    :

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m,

kde proměnné x₁, … ,x_n jsou neznámé a a_ij jsou koeficienty soustavy rovnic. Čísla ${\displaystyle b_{i}}$, kde ${\displaystyle i=1,2,...,m}$, jsou absolutní členy soustavy (nebo také tzv. pravá strana soustavy). V obecném případě mohou být koeficienty i absolutní členy komplexními čísly.

Koeficienty lze zapsat ve tvaru matice:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

Tuto matici označujeme jako matici soustavy.

Neznámé a pravou stranu soustavy je možné vyjádřit jako vektory

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}$

Celou soustavu rovnic je tedy možné vyjádřit jako

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}$

nebo zkráceně v maticovém zápisu:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\vec {x}}={\vec {b}}}$

popř. ve složkovém zápisu:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{i}}$

pro ${\displaystyle i=1,2,...,m}$.

Pro řešení soustavy lineárních rovnic se také využívá tzv. rozšířená matice soustavy

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\prime }=\left({\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right)}$

ze které lze zjistit existenci a jednoznačnost řešení, a kterou lze použít pro výpočet řešení např. pomocí Gaussovy eliminační metody.

Pokud jsou všechna ${\displaystyle b_{i}=0}$, lze soustavu zapsat jako

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=0}$

pro ${\displaystyle i=1,2,...,m}$, nebo také

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\vec {x}}=\mathbf {0} }$

Takovou soustavu označujeme jako homogenní. Pokud je alespoň jedno ${\displaystyle b_{i}}$ nenulové, hovoříme o nehomogenní soustavě lineárních rovnic.

Vektorový podprostor tvořený všemi řešeními homogenní soustavy lineárních rovnic ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$ označujeme jako jádro matice ${\displaystyle A}$, značíme ${\displaystyle \ker {A}}$ (z anglického kernel = jádro), nebo jako nulový prostor matice ${\displaystyle A}$.

• Frobeniova věta
• Soustava rovnic
• Rovnice

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Soustava lineárních rovnic na Wikimedia Commons
• Online výpočet soustav lineárních rovnic