Rozšířená matice

Nechť C je čtvercová matice 2×2

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}1&3\\-5&0\end{pmatrix}}.}$

Pro nalezení její inverzní matice vytvoříme rozšířenou matici (C|I), kde I je jednotková matice stejné velikosti. Pak pomocí elementárních řádkových operací upravíme rozšířenou matic tak, abychom v levé části dostali jednotkovou matici:

${\displaystyle (C|I)=\left({\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right)}$

${\displaystyle (I|C^{-1})=\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right)}$,

v pravé části dostaneme inverzní matici původní matice.

Uvažujme soustavu rovnic

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=2\\x+y+z&=3\\2x+2y+2z&=6.\end{aligned}}}$

Její matice koeficientů je

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{pmatrix}}}$

a rozšířená matice soustavy je

${\displaystyle (A|B)=\left({\begin{array}{ccc|c}1&1&2&2\\1&1&1&3\\2&2&2&6\end{array}}\right).}$

Protože obě uvedené matice mají stejnou hodnost (2), má soustava alespoň jedno řešení. Protože hodnost je menší než počet neznámých (3), má soustava nekonečně mnoho řešení.

Naproti tomu, uvažujme soustavu

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=5.\end{aligned}}}$

Její matice koeficientů je

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{pmatrix}},}$

a rozšířená matice soustavy je

${\displaystyle (A|B)=\left({\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right).}$

V tomto případě matice koeficientů má hodnost 2, zatímco rozšířená matice má hodnost 3; proto tato soustava rovnic nemá žádné řešení. Zvýšením počtu lineárně nezávislých řádků se soustava rovnic stane nekonzistentní.

Rozšířené matice lze používat pro získání řešení soustavy lineárních rovnic. Uvažujme soustavu rovnic

${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{aligned}}}$

koeficienty a konstantní členy tvoří matice

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}0\\2\\11\end{pmatrix}},}$

takže rozšířená matice je

${\displaystyle (A|B)=\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right)}$.

V tomto případě se hodnost matice koeficientů (3) rovná hodnosti rozšířené matice, takže existuje alespoň jedno řešení; a protože tato hodnost se rovná počtu neznámých, existuje právě jedno řešení.

Pro získání řešení je třeba provádět elementární řádkové operace na rozšířené matici tak, abychom v levé části získali jednotkovou matici, tedy

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|c}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right),}$

Z tohoto tvaru je vidět řešení soustavy: (x, y, z) = (4, 1, -2).