Exponenciální funkce

Exponenciální funkce (modrá) a součet prvních n + 1 mocnin výrazů vlevo (červená)

Exponenciální funkce e^x může být charakterizována různými ekvivalentními způsoby. Zejména může být definována následující mocninnou řadou:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

Méně často je e^x definováno jako řešení y rovnice

${\displaystyle x=\int _{1}^{y}{1 \over t}\mathrm {d} t}$.

Lze ji definovat také následující limitou:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$.

Pro každou exponenciální funkci ${\displaystyle y=a^{x}}$ (${\displaystyle a>0}$) platí:

• je zdola omezená
• je prostá
• je spojitá v každém bodě, ale není stejnoměrně spojitá na celém ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• pro a > 1 je rostoucí, pro a ∈ (0; 1) klesající
• ${\displaystyle a^{0}=1}$ (tedy graf exponenciální funkce prochází bodem [0;1])
• ${\displaystyle a^{(x+y)}=a^{x}.a^{y},}$ ve speciálním případě ${\displaystyle \exp(x+y)=(\exp x).(\exp y)}$.

Často používaný základ exponenciální funkce je Eulerovo číslo ${\displaystyle e}$. Funkce ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ je až na násobek jediné řešení diferenciální rovnice

${\displaystyle y'=y.}$

Funkce ${\displaystyle e^{x}}$ se obvykle definuje mocninnou řadou

${\displaystyle e^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {x^{j}}{j!}},}$

která konverguje pro každé reálné i komplexní ${\displaystyle x}$. Obecná exponenciální funkce se pak dá definovat jako

${\displaystyle a^{x}=e^{x\ln \,a},}$

kde ${\displaystyle \ln \,a}$ je přirozený logaritmus čísla ${\displaystyle a}$.

Dosazením čistě imaginárního čísla ${\displaystyle ix}$ do definice exponenciály dostáváme vztah ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Derivace exponenciální funkce je rovna hodnotě funkce. Tečna (červená) vedená libovolným bodem P grafu funkce (modrá) tvoří s kolmicí o velikosti h (zelená) pravoúhlý trojúhelník o základně b na ose x. Vzhledem k tomu, že sklon červené tečny (derivace) v bodě P se rovná poměru výšky trojúhelníku k základně trojúhelníku a derivace je rovna hodnotě funkce, musí se h rovnat poměru h a b. Proto musí být základna b vždy rovna 1

Důležitost exponenciální funkce v matematice a přírodních vědách pramení hlavně z vlastností její derivace, zejména:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}$

Důkaz:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}e^{x}&={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \right)\\&=0+1+{\frac {2x}{2!}}+{\frac {3x^{2}}{3!}}+{\frac {4x^{3}}{4!}}+{\frac {5x^{4}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=e^{x}\\\end{aligned}}}$

To znamená, že e^x je svou vlastní derivací a tedy je jednoduchým příkladem pfaffovské funkce. Funkce tvaru ce^x (kde c je konstanta) jsou jediné funkce s touto vlastností (podle Picardovy–Lindelöfovy věty).

Tato vlastnost se dá vyjádřit i následujícími způsoby:

• Sklon grafu v libovolném bodě je hodnota funkce v tomto bodě.
• Tempo růstu funkce x je stejné jako hodnota funkce v bodě x.
• Funkce řeší diferenciální rovnici y′ = y.
• exp je pevný bod derivace.

Krom toho u diferencovatelné funkce f(x) používáme řetízkové pravidlo:

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}}$

Exponenciální a logaritmická funkce jsou navzájem inverzní, tedy platí:

${\displaystyle f:y=a^{x}}$, ${\displaystyle f^{-1}:y=log_{a}x}$.

Grafy těchto funkcí jsou osově souměrné podle přímky ${\displaystyle y=x}$.

Řetězový zlomek pro e^x lze získat prostřednictvím Eulerovy rovnosti:

${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$

Následující celkový řetězový zlomek pro e^z konverguje mnohem rychleji:

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$

nebo použitím substituce ${\displaystyle z=\left({\frac {x}{y}}\right)}$:

${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$

zvláštní případ pro z = 2:

${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}$

Tento vzorec také konverguje, ale pomaleji, protože z > 2. Například:

${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}}$

Mocninná řada v definici exponenciály umožňuje definovat exponenciálu i mnohem komplikovanějších objektů, než jsou komplexní čísla, zejména matic a operátorů. Mocniny a součty operátorů, respektive matic, jsou dobře definované a příslušná řada konverguje.

Exponenciální funkce na komplexní rovině. Přechod ze tmavých do světlých barev ukazuje, že velikost exponenciální funkce se zvětšuje na pravé straně. Periodické vodorovné pruhy naznačují, že exponenciální funkce je periodická v imaginární části svých argumentů

Stejně jako v reálném případě, exponenciální funkce může být definována na komplexní rovině několika ekvivalentními formami. Jedna taková definice je ekvivalentní definicí mocninnou řadou, kde je reálná proměnná nahrazena komplexní:

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

Exponenciální funkce je periodická s imaginární periodou 2πi a může být psána jako

${\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)=e^{a}\operatorname {cis} (b)}$,

kde a a b jsou reálné hodnoty a kde na pravé straně se vyskytují reálné funkce, pokud je tento předpis použit jako definice (Eulerův vzorec). Tento vzorec propojuje exponenciální funkci s goniometrickými a hyperbolickými funkcemi.

Uvažujeme-li funkci definovanou na komplexní rovině, pak exponenciální funkce zachovává tyto vlastnosti:

• ${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,}$
• ${\displaystyle e^{0}=1\,}$
• ${\displaystyle e^{z}\neq 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}e^{z}=e^{z}}$
• ${\displaystyle \left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} }$

pro všechny z a w.

Exponenciální funkce je celá funkce neboť je holomorfní na celé komplexní rovině. Každé komplexní číslo kromě 0 má při exponenciální funkci svůj vzor; to znamená, že 0 je lacunární hodnota exponenciální funkce. Ilustruje tedy malou Picardovu větu, že jakákoli nekonstantní celá funkce má ve svém obrazu až na jeden bod celou komplexní rovinu.

Rozšířením přirozeného logaritmu do komplexních čísel získáme komplexní logaritmus log z, což je vícehodnotová funkce.

Pak můžeme definovat obecnou mocninu:

${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z}}$

pro všechna komplexní čísla z a w. To je také vícehodnotová funkce, a to i když z je reálné. Tento fakt je poněkud problematický, neboť vícehodnotové funkce log z a z^w lze lehce zaměnit s jejich jednohodnotovými ekvivalenty dosazením reálného čísla za z. Pravidlo o násobení exponentů v případě pozitivních reálných čísel musí být upraveno pro vícehodnotový kontext:

(e^z) w
  ≠ e^zw, ale spíše (e^z) w
  = e^{(z + 2πin)w} vícehodnotový po celých číslech n.

Exponenciální funkce zobrazuje každou přímku v komplexní rovině na logaritmické spirály v komplexní rovině se středem v počátku. Existují dva zvláštní případy: když původní přímka je rovnoběžná s reálnou osou, výsledná spirála se nikdy neuzavírá do sebe; a když původní přímka je rovnoběžná s imaginární osou, výsledná spirála je kruh o nějakém poloměru.

• Exponenciální funkce na komplexní rovině
• 
  z = Re(e^{x + iy})
• 
  z = Im(e^{x + iy})

• Umocňování

• Obrázky, zvuky či videa k tématu exponenciální funkce na Wikimedia Commons