Fyzikální pole

Z matematického hlediska je pole funkcí (skalární, vektorovou, tenzorovou apod.), která nabývá v každém bodě prostoru určité hodnoty. Uvedená funkce může (ale nemusí) přímo souviset s nějakou sledovanou fyzikální veličinou.

V klasické fyzice obvykle tato funkce přímo souvisí se sledovanou veličinou (např. s hustotou) – taková pole bývají také označována jako klasická.

V kvantové teorii se místo funkcí používají operátory, tzn. v každém bodě prostoru je danému poli přiřazen určitý operátor (např. Hamiltonův operátor). Tato pole bývají také označována jako kvantová.

Podle charakteru veličiny se rozlišují

• skalární pole
• vektorové pole
• tenzorové pole
• spinorové pole

Prostor, na kterém je pole definováno, může být zaveden velmi obecně. V klasické fyzice jde nejčastěji o běžný Eukleidovský prostor (tedy tři prostorové souřadnice) a čas. V relativistické fyzice se používá Minkowského prostoročas (obvykle pro potřeby speciální teorie relativity) nebo zakřivený prostoročas (v obecné teorii relativity).

Protože stav pole je popsán hodnotou veličiny v nekonečně mnoha bodech prostoru, je pole význačným případem systému s nekonečně mnoha stupni volnosti.

V klasické fyzice se polní popis nejprve rozvinul v mechanice kontinua (např. pole rychlostí, pole tenzoru deformace a podobně). Pole je zde ale chápáno pouze jako vhodný prostředek k popisu „kontinua“, a ne jako samostatně existující objekt.

Velmi podobný matematický aparát se později uplatnil při popisu elektrického pole, magnetického pole, a Maxwellovou teorií sjednoceného elektromagnetického pole. V těchto teoriích už má pole samostatnější postavení a vyplňuje „jinak prázdný“ prostor.

Do polního popisu byla převedena i Newtonova teorie gravitace (gravitační pole). V obecné teorii relativity je význačné pole tenzoru energie a hybnosti, které popisuje veškerou hmotu, ale samotná gravitace se projevuje zakřivením prostoročasu.

Ve 20. století s rozvojem kvantové teorie byla vytvořena kvantová teorie pole. V rámci studia kvantovaných polí vzniklo i několik dalších modelů pole

• Kleinovo–Gordonovo pole
• Diracovo pole

Pole potenciálních sil se označuje jako konzervativní (potenciálové nebo potenciální) pole. Pokud se jedná o pole disipativních sil, označuje se jako nekonzervativní.[pozn. 1]

Jako příklad lze v prostoru uvažovat vektorové silové pole, tedy takové silové pole, kdy v každém místě prostoru působí na hmotný bod síla jednoznačně určená velikostí a směrem. Pro přesunutí hmotného bodu z místa A do místa B po dráze ${\displaystyle s}$ je třeba vykonat určitou práci ${\displaystyle W}$. Předpokládejme nyní, že se hmotný bod přesune z místa B do místa A (tedy zpět do původní pozice) po jiné dráze ${\displaystyle s^{\prime }}$, přičemž se vykoná práce ${\displaystyle W^{\prime }}$. Hmotný bod tak vykoná pohyb po uzavřené dráze, která je tvořena drahami ${\displaystyle s}$ a ${\displaystyle s^{\prime }}$.

Pokud platí

${\displaystyle W=-W^{\prime }}$,

pak je celková práce po uzavřené dráze nulová, tzn.

${\displaystyle W+W^{\prime }=0}$

Body A a B byly zvoleny libovolně, což znamená, že v takovém poli nezávisí práce na dráze, kterou musí hmotný bod projít, ale pouze na počáteční a konečné poloze. Taková pole se nazývají konzervativní (potenciálová). V konzervativním poli platí zákon zachování mechanické energie. Celková mechanická energie konzervativní soustavy zůstává stálá. Obvykle také nemluvíme o konzervativním poli, ale pouze o konzervativních silách.

Mezi konzervativní pole patří např. gravitační pole. Konzervativními jsou všechna silová pole, která jsou homogenní (konstantní v prostoru, tzn. působící síly mají v každém bodě stejný směr i velikost) a také všechna pole centrálních sil.

Pokud neplatí předchozí vztah, pak

${\displaystyle W\neq -W^{\prime }}$

V takovém případě obvykle dochází během pohybu hmotného bodu ke ztrátám energie, většinou v důsledku nějaké odporové síly. Hmotný bod se tedy do původního místa vrací s jinou energií. Zákon zachování mechanické energie již neplatí, neboť mechanická energie se změnila v jiný typ energie (např. teplo nebo deformační energii apod.). Takové pole (a jeho síly) je nekonzervativní. Pro nekonzervativní pole tedy platí

${\displaystyle W+W^{\prime }\neq 0}$

Pokud v nekonzervatimním poli platí

${\displaystyle W+W^{\prime }<0}$,

pak se hovoří o poli disipativním. Práce vykonaná disipativními silami při pohybu hmotného bodu je tedy záporná. Při pohybu v disipativním poli se tedy kinetická energie hmotného bodu snižuje.

Pokud sledujeme pohyb hmotného bodu v gravitačním poli, přičemž nezanedbáváme odpor vzduchu, dochází k disipaci (ztrátám) energie a pohyb se zpomaluje. Výsledné silové působení již není konzervativní.

Pokud mechanická práce v konzervativním silovém poli nezávisí na dráze, po níž se hmotný bod pohybuje, ale pouze na počáteční a konečné poloze, pak lze místo vektorového pole použít skalární pole. Tato veličina se pak nazývá potenciál.

Za homogenní je pole považováno tehdy, má-li veličina, která pole popisuje, v každém bodě prostoru stejnou hodnotu.

Např. pro homogenní gravitační pole mají vektory intenzity gravitačního pole v každém bodě prostoru stejnou velikost a jsou rovnoběžné a mají stejný směr (orientaci).

Pole s potenciálem ${\displaystyle U(r)}$, který závisí pouze na vzdálenosti ${\displaystyle r}$ od určitého bodu, tzv. centra, se nazývá centrální nebo také radiální či sféricky symetrické.

Pro sílu působící v centrálním poli platí

${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {\partial U(r)}{\partial \mathbf {r} }}=-U^{\prime }(r){\frac {\mathbf {r} }{r}}}$,

kde čárkou je označena derivace podle ${\displaystyle r}$. Velikost této síly závisí pouze na vzdálenosti od centra a její směr je shodný se směrem spojnice centra a vyšetřovaného bodu. Tato síla bývá označována jako centrální síla.

Příkladem centrálního pole je gravitační pole hmotného bodu nebo síla lineární pružiny.

Pohyb v poli centrálních sil bývá také označován jako centrální pohyb.

• Ekvipotenciální plocha
• Siločára
• Základní interakce
• Působení na dálku