Coriolisova síla

Vektorový vztah pro Coriolisovo zrychlení ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{C}}$ (zrychlení částice v rotujícím systému) je

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{C}=-2\,{\boldsymbol {\omega \times v}}}$

neboli (po vynásobení hmotností) vztah pro Coriolisovu sílu

${\displaystyle \mathbf {F} _{c}=-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} ,\,\!}$

kde F_c je Coriolisova síla, m je hmotnost tělesa, v je vektor rychlosti tělesa v neinerciální vztažné soustavě, ω je vektor úhlové rychlosti otáčení soustavy a ${\displaystyle \times }$ označuje vektorový součin. Velikost Coriolisovy síly spočteme jako

${\displaystyle F_{c}=-2m\omega v\sin \theta ,\,\!}$

kde ${\displaystyle \theta }$ je úhel sevřený mezi vektorem úhlové rychlosti a vektorem rychlosti.

Ze vzorce vyplývá, že Coriolisova síla je kolmá na směr pohybu tělesa a na osu otáčení. Pro její směr platí:

• pokud je vektor rychlosti rovnoběžný s osou otáčení, Coriolisova síla je nulová
• pokud vektor rychlosti směřuje kolmo k ose otáčení, Coriolisova síla působí ve směru rotace
• pokud vektor rychlosti směřuje kolmo od osy otáčení, Coriolisova síla působí proti směru rotace
• pokud vektor rychlosti směřuje po směru otáčení, Coriolisova síla působí směrem od osy
• pokud vektor rychlosti směřuje proti směru otáčení, Coriolisova síla působí směrem k ose

Pokud bychom uvažovali určité místo na Zemi o zeměpisné šířce ${\displaystyle \varphi }$ a soustavu souřadnic, jejíž osa x směřuje na východ, osa y na sever a osa z směrem vzhůru, potom úhlovou rychlost, rychlost tělesa a Coriolisovu sílu vypočítáme jako:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega {\begin{pmatrix}0\\\cos \varphi \\\sin \varphi \end{pmatrix}}}$     ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}}$     ${\displaystyle \mathbf {F} _{c}=2\,m\omega \,{\begin{pmatrix}v_{y}\sin \varphi -v_{z}\cos \varphi \\-v_{x}\sin \varphi \\v_{x}\cos \varphi \end{pmatrix}}}$

Díky vertikální složce Coriolisovy síly jsou tělesa v pohybu na východ odchylovány nahoru (nadlehčovány), v pohybu na západ jsou odchylovány dolů. Tento jev je známý jako Eötvösův efekt. V praxi není jev příliš pozorovatelný, protože je zanedbatelný v porovnání s působením gravitace a tlaku. Zjednodušením předchozích vztahů na horizontální rovinu je (uvažujeme v_z = 0):

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}},}$     ${\displaystyle \mathbf {F} _{c}=mf{\begin{pmatrix}v_{y}\\-v_{x}\end{pmatrix}},}$   kde ${\displaystyle f=2\omega \sin \varphi }$ se nazývá Coriolisův parametr.

Coriolisův efekt existuje jen v rotující vztažné soustavě. Neodpovídá žádnému skutečnému zrychlení nebo síle, ale pouze jeho zdání z pohledu rotujícího vztažného systému.

Projev Coriolisovy síly na objektu v pohybu může být interpretován jako součet dvou stejně velkých efektů s různými příčinami:

• První příčina je změna rychlosti tělesa v čase. Neměnná rychlost (v inerciální vztažné soustavě, kde platí běžné fyzikální zákony) představuje dvě různé rychlosti ve dvou různých okamžicích z pohledu rotující soustavy. Zrychlení, které se projevuje, je úměrné úhlové rychlosti vztažné soustavy (rychlost, s jakou mění osy souřadnic svou polohu) a rychlosti tělesa. Odtud vztah ${\displaystyle -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} }$. Znaménko minus je dáno definicí vektorového součinu (pravidlo pravé ruky) a znaménkovou konvencí vektoru úhlové rychlosti.
• Druhá příčina je změna rychlosti v prostoru. Různé body rotující soustavy mají různé rychlosti (z pohledu inerciální vztažné soustavy). Aby se objekt pohyboval po přímé dráze, musí mít určité zrychlení, které způsobuje od jednoho bodu k druhému změnu rychlosti stejnou, jaká je změna rychlosti ve vztažné soustavě. Tento efekt je úměrný úhlové rychlosti (která určuje relativní rychlost dvou různých bodů rotující vztažné soustavy) a rychlosti tělesa kolmo na osu rotace (která určuje, jak rychle se těleso pohybuje mezi těmito body). Odtud opět vztah ${\displaystyle -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} }$.

• Coriolisova síla není důsledek zakřivení Země, pouze její rotace. Nicméně velikost Coriolisovy síly je závislá na zeměpisné šířce a tato závislost je způsobená tvarem Země.
• To, že pohyb balistických střel a družic zakreslený na běžných mapách světa zdánlivě opisuje zakřivenou trajektorii, je zapříčiněno především sférickým tvarem Země. Nejkratší vzdálenost mezi dvěma body na zemském povrchu obvykle není na takových mapách rovná úsečka. Každá dvourozměrná mapa nevyhnutelně zkresluje zakřivený (trojrozměrný) zemský povrch. Typicky (například v běžně používaném Mercatorovu zobrazení) se zkreslení zvyšuje v blízkosti pólů. Zakřivení trajektorie by se na mapách objevilo i kdyby se Země neotáčela. Coriolisův efekt se na balistických raketách pochopitelně projevuje, ale na mapách je mnohem méně zřetelný než zkreslení použitého zobrazení.
• Coriolisova síla by neměla být zaměňována s odstředivou silou. V rotující soustavě vždy působí na těleso (pokud jej nemůžeme považovat za hmotný bod ležící na ose otáčení) odstředivá síla, ať už je v pohybu nebo ne. Vznik Coriolisova efektu vyžaduje, aby se těleso pohybovalo relativně k rotující soustavě rychlostí, jejíž vektor v není rovnoběžný s osou otáčení. Zvláště pokud v leží na tečně ke kružnici se středem na ose otáčení, která je na ní kolmá, vektor Coriolisovy síly je rovnoběžný s vektorem odstředivé síly. V takovém případě lze uvažovat rotující vztažnou soustavu s jinou úhlovou rychlostí, kde rychlost v je nulová a Coriolisova síla taktéž.
• Není pravda, že se v důsledku Coriolisova efektu voda vypouštěná z vany nebo umyvadla stáčí vždy v jednom směru na severní polokouli a v opačném směru na jižní polokouli.[2][3] Ve skutečnosti je působení Coriolisovy síly o několik řádů menší než různé náhodné vlivy (například tvar nádoby, počáteční proudění vody) a jev je měřitelný pouze v laboratorních podmínkách. Prvně tento jev publikoval Ottokar Tumlirz roku 1908. Pověru rozšířily i některé televizní seriály (například Akta X[4], Simpsonovi). Navíc se toto nesprávné tvrzení objevilo v několika vědeckých programech a publikacích.[5] Jedná se tak o vědecký mýtus.

Znázornění harmonické oscilace na parabole

K demonstraci působení Coriolisovy síly lze použít mělkou otočnou plochu s parabolickým dnem. V nádobě s rovným dnem by setrvačnost vytlačila tělesa na okraj rotující nádoby, avšak pokud má nádoba správný parabolický tvar a otáčí se správnou rychlostí, potom složka gravitační síly ve směru tečny k parabole je v rovnováze s dostředivou silou nutnou k zachování rychlosti a poloměru zakřivení plochy. To umožňuje pozorovat působení Coriolisovy síly izolovaně.

Demonstrace vytvoření paraboly pomocí rotace.

Kotouče odřízlé z válce suchého ledu se pohybují po povrchu nádoby téměř bez tření, takže jejich pohyb ovlivňuje pouze Coriolisova síla. Kamera připevněná k otočné nádobě rotuje společně s ní a zachycuje pohyb z pohledu rotující soustavy. Protože se soustava otočí několikrát za minutu (na rozdíl od Země, která se otočí jednou za den), Coriolisova síla je mnohem větší a lépe se pozoruje v krátkém čase a na malém prostoru.

Působení Coriolisovy síly lze též názorně a snadno doložit pomocí Foucaultova kyvadla, které bylo prvním jasně viditelným důkazem rotace Země.

Tlaková níže nad Islandem se otáčí proti směru hodinových ručiček v důsledku rovnováhy Coriolisovy síly a rozložení tlaku

Mezi nejdůležitějších projevy Coriolisovy síly patří dynamika oceánu a atmosféry. V meteorologii je vhodné používat rotující vztažnou soustavu, kde Země zůstává nehybná. Proto se zavádí zdánlivá odstředivá a Coriolisova síla. Nicméně odstředivá síla je vyrušená díky tvaru Země – ustálil se jako rotační elipsoid tak, aby gravitační a odstředivá síla byly v rovnováze. Proto pouze Coriolisova síla má zřetelný dopad na výpočty.

Proudění v okolí tlakové níže

Schematické znázornění proudění vzduchu okolo tlakové níže na severní polokouli. Sílu způsobenou rozdílem tlaku znázorňují modré šipky, Coriolisovu sílu (vždy kolmou k rychlosti) červené šipky.

Pokud v atmosféře vznikne tlaková níže, vzduch proudí směrem k ní, ale Coriolisova síla jej odchyluje ve směru kolmém na rychlost. Systém se dostane do rovnováhy ve vířivém pohybu. Protiváhu ke Coriolisově síle, jež působí směrem od tlakové níže, tvoří síla způsobená rozdílem tlaku.

Místo aby vzduch proudil přímo do tlakové níže, ve velkém měřítku má atmosféra a oceán sklon pohybovat se kolmo ke směru poklesu tlaku. Jev je známý jako geostrofický vítr. Na planetě, která se neotáčí, by tekutiny proudily po nejkratší možné dráze tak, aby vyrovnaly rozdíly v tlaku. Za povšimnutí stojí, že geostrofická rovnováha se velmi liší od „setrvačných pohybů“, což vysvětluje proč jsou cyklóny ve středních zeměpisných šířkách o řád větší, než by způsobilo samotné setrvačné proudění.

Způsob, jakým se proudění odklání, a směr pohybu se nazývá Buys-Ballotovo pravidlo. Na severní polokouli směřuje pohyb okolo tlakové níže proti směru hodinových ručiček. Na jižní polokouli směřuje po směru ručiček; dynamika otáčení je zde zrcadlový odraz severu. Cyklóny se nevytváří na rovníku, protože v tamějších oblastech je Coriolisův parametr příliš malý.