Tenzor energie a hybnosti

Tenzor energie a hybnosti je kvantitativní tenzor ve fyzice, který popisuje hustotu a tok energie a hybnosti v prostoročasu. Zevšeobecňuje tenzor napětí z newtonovské fyziky. Je to atribut hmoty, záření a negravitačních silových polí. Tenzor energie a hybnosti je zdrojem gravitačního pole v Einsteinových rovnicích obecné teorie relativity, podobně jako je hustota hmoty zdroje tohoto pole v newtonovské gravitaci.

Definice

Tenzor energie a hybnosti zahrnuje použití proměnných v horním indexu. Jsou-li použity kartézské souřadnice v jednotkách SI, pak jsou složky polohy čtyřvektoru dány: x⁰ = t, x¹ = x, x² = y, and x³ = z, kde t je čas v sekundách, a x, y, a z jsou vzdálenosti v metrech.

Tenzor energie a hybnosti je definován jako tenzor T^αβ druhého řádu, který udává α-tou složku vektoru hybnosti povrchu s konstantními x^β souřadnicemi. V teorii obecné relativity je tento vektor brán jako čtyřhybnost. V obecné relativitě je tenzor energie a hybnosti symetrický,[1]

T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }.

V některých alternativních teoriích jako jsou Einsteinova-Cartanova teorie, nemusí být tenzor energie a hybnosti dokonale symetrický z důvodu nenulového spinového tenzoru, který geometricky odpovídá na nenulový torzní tenzor.

Identifikace částí tenzoru

Vzhledem k tomu, že tenzor energie a hybnosti je tenzorem druhého řádu, jeho složky mohou být zobrazeny v podobě 4x4 matice:

(T^{\mu \nu })_{\mu ,\nu =0,1,2,3}={\begin{pmatrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}.

V následujícím, i a k rozmezí od 1 do 3.

Složka čas-čas je hustotou relativistické hmotnosti, to je hustota energie dělená rychlostí světla na druhou. [2] To má zvláštní význam, protože to má jednoduchou fyzikální interpretaci. V případě dokonalé tekutiny je tato složka:

T^{00}=\rho ,

a elektromagnetické pole v jinak prázdném prostoru je:

T^{00}={1 \over c^{2}}\left({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),

kde E a B jsou elektrické a magnetické pole. [3]

Tok relativistické hmotnosti přes xⁱ povrch je ekvivalentem hustoty i-té složky hybnosti:

T^{0i}=T^{i0}.

Složky

T^{ik}

reprezentují tok i-té složky hybnosti přes x^k povrch. Zejména

T^{ii}

představují normálové napětí, které se nazývá tlakem, je-li nezávislé na směru. Zbývající složky

T^{ik}\quad i\neq k

představují smykové napětí.

Ve fyzice pevných látek a mechanice tekutin, je tenzor hybnosti definován jako prostorová složka tenoru energie a hybnosti ve správném referenčním rámci.

Kovariantní a smíšené formy

Většina článku pracuje s kontravariantní formou T^μν tenzoru energie a hybnosti. Nicméně často je nutné pracovat i s kovariantní formou

T_{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu },

nebo smíšenou formou

T^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu },

nebo smíšeným tenzorem hustoty

{\mathfrak {T}}^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu }{}_{\nu }{\sqrt {-g}}\,.

Článek používá prostorupodobnou konvenci značení (−+++) pro metrický zápis.

Zákony zachování

Speciální relativita

Tenzor energie a hybnosti je konzervovaný proud Noetherové spojený s prostoročasovými translacemi.

Divergence negravitační hybnosti-energie je nulová. Jinými slovy, negravitační energie a hybnost jsou zachovány

0=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }{}.\!

Při zanedbatelné gravitaci a použití kartézských souřadnic pro prostoročas, mohou být vyjádřeny jako parciální diferenciální rovnice

0=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }.\!

Integrální forma tohoto je

0=\int _{\partial N}T^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }\!

kde N je jakákoli kompaktní čtyřrozměrná prostoročasová oblast, $\partial N$ je její hranice, trojrozměrný hyperpovrch, a $\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }$ je prvek hranice považovaný za vnější normální ukazatel.

V plochém prostoročasu s Kartézskými souřadnicemi, lze ukázat, že pokud se toto zkombinuje se symetrií tenzoru energie a hybnosti, moment hybnosti se také zachovává:

0=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }.\!

Obecná relativita

Pokud není gravitace zanedbatelná nebo při použití libovolný souřadnicových systémů, divergence hybnosti-energie stále mizí. Ale v tomto případě zahrnuje volná definice souřadnic divergence použití kovariantní derivace.

0=\operatorname {div} T=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }

kde $\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }$ je Christoffelův symbol, který reprezentuje gravitační silové pole.

V důsledku toho, je-li $\xi ^{\mu }$ jakékoli Killingovo vektorové pole, pak může být zákon zachování spojený se symetrií generovanou Killingovým vektorovým polem vyjádřen jako

0=\nabla _{\nu }(\xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu })={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\nu }({\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu })

Integrální forma toho je

0=\int _{\partial N}{\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }=\int _{\partial N}\xi ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }

Obecná relativita

V obecné relativitě působí tenzor energie a hybnosti jako zdroj zakřivení prostoročasu a je hustotou proudu spojenou s kalibračními transformacemi gravitace, což jsou obecně zakřivené transformace souřadnic. Pokud je tenzor energie a hybnosti torzní, pak již tenzor není symetrický, což odpovídá případu s nenulovým spinovým tenzorem v Einsteinově-Cartanově teorii gravitace.

V obecné relativitě jsou parciální derivace používané ve speciální relativitě nahrazeny kovariantními derivacemi. To znamená, že z rovnice kontinuity již nevyplývá, že negravitační energie a hybnost vyjádřené tenzorem se zcela zachovávají. To znamená, že gravitační pole může konat práci v hmotě a naopak. V klasické limitě Newtonovy gravitace to má jednoduchou interpretaci, energie je vyměňována s gravitační potenciální energií, která není zahrnuta v tenzoru energie a hybnosti a hybnost je přenášena přes pole na jiné objekty. V obecné relativitě je Landaův-Lifšicův pseudotenzor unikátním způsobem, jak definovat energii gravitačního pole a hustoty hybnosti. Jakýkoli takový pseudotenzor energie a hybnosti může zrušit místní transformace souřadnic.

V zakřiveném prostoročasu závisí prostorupodobný integrál obecně na prostorupodobném řezu. Ve skutečnosti není k dispozici žádný způsob jak definovat vektor globální energie-hybnosti v zakřiveném prostoročasu.

Einsteinovy polní rovnice

V obecné relativitě je tenzor hybnosti studován v souvislosti s Einsteinovými polními rovnicemi, které jsou často psány jako

R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },

kde $R_{\mu \nu }$ je Ricciho tenzor, $R$ je Ricciho skalár, $g_{\mu \nu }\,$ je metrický tenzor, a $G$ je gravitační konstanta.

Hybnost-energie ve speciálních situacích

Izolovaná částice

Ve speciální teorii relativity, hybnost-energie neinteragující částice o hmotnosti m a trajektorii $\mathbf {x} _{\text{p}}(t)$ je:

T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))=E{\frac {v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{c^{2}}}\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))

kde $(v^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}\!$ je vektor rychlosti (nemělo by být zaměňováno s čtyřrychlostí)

(v^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right)\,,

δ je Diracovo delta a $E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}$ je energie částice.

Hybnost-energie kapaliny v rovnováze

Pro dokonalou tekutinu v termodynamické rovnováze nabývá tenzor energie a hybnosti jednoduché formy

T^{\alpha \beta }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }

kde $\rho$ je hustota hmoty-energie (kilogramy na metr krychlový), $p$ je hydrostatický tlak, $u^{\alpha }$ je čtyřrychlost tekutiny a $g^{\alpha \beta }$ je převrácená hodnota metrického tenzoru.

Čtyřrychlost splňuje

u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.

V inerciální vztažné soustavě pohybující se s tekutinou, lépe známé jako vlastní referenční rámec tekutiny je čtyřrychlost

(u^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}=(1,0,0,0)\,,

převrácená hodnota metrického tenzoru je

(g^{\alpha \beta })_{\alpha ,\beta =0,1,2,3}\,=\left({\begin{matrix}-c^{-2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,

a tenzor energie a hybnosti je diagonální matice

(T^{\alpha \beta })_{\alpha ,\beta =0,1,2,3}=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).

Elektromagnetický tenzor energie a hybnosti

Hilbertův tenzor energie a hybnosti volného zdroje elektromagnetického pole je

T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)

kde $F_{\mu \nu }$ je elektromagnetický polní tenzor.

Skalární pole

Tenzor energie a hybnosti pro skalární pole $\phi$ , které splňuje Kleinovu–Gordonovu rovnici je

T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi .

Varianty definice hybnosti-energie

Existuje celá řada neekvivalentních definic negravitační hybnosti-energie:

Hilbertův tenzor energie a hybnosti

Je definován jako derivace zobrazení

T_{\mu \nu }={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }.

kde ${\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }$ je negravitační část Lagrangiánu hustoty akce. Je symetrický a kalibračně invariantní.

Kanonický tenzor energie a hybnosti

Teorém Noetherové implikuje, že existuje zachovávající se proud spojený s translacemi v prostoru a čase. Tento jev se nazývá kanonickým tenzorem energie a hybnosti. Obecně platí, že není symetrický a pokud máme kalibrační teorii, nemůže být kalibračně invariantní, protože prostor závislý na kalibračních transformacích nekomutuje s prostorovými translacemi.

V obecné relativitě respektují translace souřadnicový systém a jako takové nejsou transformačně kovariantní.

Belifanteův-Rosenfeldův tenzor energie a hybnosti

V přítomnosti spinu či jiného vnitřního momentu hybnosti nemůže být kanonický Noetherové tenzor energie a hybnosti symetrický. Belinfanteův-Rosenfeldův tenzor energie a hybnosti je konstruován z kanonického tenzoru energie a hybnosti a spinového proudu takovým způsobem, aby byl symetrický a stále dodržoval zachování. V obecné relativitě souhlasí tento modifikovaný tenzor s Hilbertovým tenzorem energie a hybnosti.

Gravitační hybnost-energie

Podle principu ekvivalence bude gravitační hybnost-energie vždy lokálně mizet ve vybraném bodě ve zvoleném rámci, tedy gravitační hybnost-energie nemůže být vyjádřena nenulovým tenzorem. Místo toho musíme použít pseudotenzor.

V obecné relativitě existuje mnoho možných definic pseudotenzoru gravitační hybnosti-energie. Patří mezi ně Einsteinův pseudotenzor nebo Landaův-Lifšicův pseudotenzor. Landaův-Lifšicův pseudotenzor může být redukován na nulu v jakékoli události prostoročasu použitím vhodného souřadnicového systému.

Reference

On pp. 141–142 of Misner, Thorne, and Wheeler, section 5.7 "Symmetry of the Stress–Energy Tensor" begins with "All the stress–energy tensors explored above were symmetric. That they could not have been otherwise one sees as follows."
Charles W. ,Misner, Thorne, Kip S. , Wheeler, John A., (1973). Gravitation. San Frandisco: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-0334-3.
d'Inverno, R.A, (1992). Introducing Einstein's Relativity. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859686-8.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Stress-energy tensor na anglické Wikipedii.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] On pp. 141–142 of Misner, Thorne, and Wheeler, section 5.7 "Symmetry of the Stress–Energy Tensor" begins with "All the stress–energy tensors explored above were symmetric. That they could not have been otherwise one sees as follows."

[2] Charles W. ,Misner, Thorne, Kip S. , Wheeler, John A., (1973). Gravitation. San Frandisco: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-0334-3.

[3] 'Inverno, R.A, (1992). Introducing Einstein's Relativity. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859686-8.